Principe de Fermat, ou concordance de la phase

Richard Feynman est très, voire trop fréquemment cité, pour avoir annoncé en amphi : "Personne ne comprend la mécanique quantique". Pourtant le nombre de fois où il est passé à un cheveu de toute la comprendre, relève à la fois de la comédie et de la tragédie.

Prenons son cours de Caltech de 1964, fin du tome 1 d'électromagnétisme, chapitre 19 : Le principe de moindre action, donc pages 326 à 347 (la pagination est identique sur les éditions originales, ou traduites en français, voire bilingues).

Page 340, Feynman frôle plusieurs fois le point central, tout en l'évitant soigneusement : "L'énoncé de notre principe de moindre action est incomplet. Ce n'est pas qu'une particule emprunte le trajet de moindre action, mais qu'elle "sent" tous les trajets du voisinage et qu'elle choisit celui de moindre action d'une façon analogue à celle par laquelle la lumière choisit le temps de trajet le plus court.
...
Le trajet important devient celui qui est entouré de nombreux trajets voisins et qui donnent tous la même phase."
Sauf que là Feynman ne parle que de la lumière. Et vous allez admirer comment il s'arrange pour ne pas terminer son raisonnement :
"C'est exactement ce qui se passe en mécanique quantique...
C'est à dire que si nous représentons la phase de l'amplitude par un nombre complexe, l'angle de la phase est S/. L'action S a les dimensions d'une énergie multipliée par un temps, et la constante de Planck a les mêmes dimensions."

Et là Feynman s'arrête pile : il est demeuré convaincu, comme tous ses autres collègues, que la phase et l'amplitude n'ont aucune réalité physique, qu'elles ne sont que des intermédiaires de calcul.

Puis il explique, involontairement mais c'est évident au lecteur plus averti, qu'il ignorait tout de la thèse de Louis de Broglie, soutenue en 1924, qui avait servi de base aux travaux de Schrödinger de 1926, et qu'il en a redécouvert les fondements, mais de façon bien peu commode, en 1942. Et qu'il n'avait jamais fait le rapprochement depuis. Or en 1924, Broglie avait déjà énoncé le pourquoi de la similitude formelle énoncée par William R. Hamilton vers 1827 entre l'optique et la mécanique : tout objet matériel à commencer par l'électron, a une fréquence (intrinsèque dans son repère propre) et une phase, et les trajets réellement suivis sont ceux en concordance de phase avec leurs voisins immédiats. Tout trajet réel est partout orthogonal aux surfaces équiphases, localement assimilables à des plans. Donc la mécanique quantique relève des techniques déjà élaborées en optique par Augustin Fresnel en 1821, et le principe de Fermat y demeure valide, pour les mêmes raisons.

Il en découle aussi que tout comme la lumière, tout quanton a une largeur de propagation non nulle, non négligeable, et floue, intrinsèquement floue.

Nous pouvons démystifier le principe de moindre action, et les intégrales de chemin de Feynman : tout cela n'est rien de plus que le principe de Fermat, applicable directement à la mécanique. Intrinsèquement, la physique de base, la physique mécanique, est ondulatoire.

Autre référence bibliographique : Wolfgang Greiner. Quantum Mechanics, special chapters. Springer Verlag 1989. Chapitre 13.1 Action Functional in Classical Mechanics and Schrödinger's Wave Mechanics.

Différence N°1 avec l'optique : pour tout quanton avec masse, la vitesse de phase est distincte de la vitesse de groupe

Voir le calcul fait par Louis de Broglie et le théorème d'harmonie des phases.

Différence N°2 avec l'optique : pour l'électron (et tout fermion), cette onde est bispinorielle, à quatre composantes

Voir l'équation de Dirac, la propagation des quantons de spin 1/2.