Géométrie de Schwarzschild

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La géométrie de Schwarzschild est définie par sa métrique. Pour l'obtenir, on peut résoudre les équations d'Einstein Schwarzschild, K,On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Tex.Klasse 1916, 189-196 mais on peut aussi partir d'hypothèses simples comme celle de l'invariant de volume d'espace-temps d'Einstein (Einstein, A, Balibar, F, Oeuvres choisies, Relativités I et II, Seuil / CNRS, 1999), qui s'interprète à partir de la relativité restreinte où dilatation du temps et contraction de la longueur sont inverses l'une de l'autre.

L’équation générale de la métrique est exprimée sous forme diagonale car on peut toujours effectuer une rotation pour diagonaliser la matrice représentative de la métrique dans ses axes principaux :

LaTeX: ds^2=\, g_{rr}d r^2 + g_{\theta\theta} d \theta ^2 + g_{\phi\phi} d \phi ^2 + g_{tt} d\left(ict\right)^2

Hypothèses

Nous allons donc utiliser ces principes pour déterminer les coefficients de la métrique de Schwarzschild (Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007).

Symétrie sphérique

L’espace est supposé homogène et isotrope, la solution doit être invariante dans une rotation. La rotation sur une sphère s'exprime, en fonction de la colatitude et de la longitude sous la forme :

LaTeX: d\Omega^2= \left.d\theta ^2 + sin^2\theta d \phi ^2\right.

Le rayon de la sphère ne variant pas, on peut multiplier par LaTeX: r^2, ce qui donne la métrique

LaTeX: ds^2=\, g_{rr}(r,t)d r^2 + g_{tt}(r,t) d\left(ict\right)^2+ r^2d\theta ^2 + r^2sin^2\theta d \phi ^2

Les coefficients de la métrique LaTeX: g_{\theta\theta} et LaTeX: g_{\phi\phi} ne sont pas modifiés dans une rotation sur la sphère de rayon r.

Métrique statique

Les coefficients LaTeX: g_{rr} et LaTeX: g_{tt} de la métrique doivent être indépendants du temps, c’est-à-dire que leurs dérivées partielles par rapport au temps doivent être nulles. Ils ne dépendent donc que de la distance r à l’astre :

LaTeX: ds^2=\, g_{rr}(r)d r^2 + g_{\theta\theta}(r) d \theta ^2 + g_{\phi\phi}(r) d \phi ^2 + g_{tt}(r) d\left(ict\right)^2

Il n’y a donc pas d’ondes de gravitation dans ce modèle. La transmission des efforts y est instantanée selon la loi de l’action et de la réaction.

Métrique de Minkowski à l’infini

La métrique de Minkowski s’écrit en coordonnées sphériques :

LaTeX: ds^2= dr^2 + r^2 d \theta ^2 + r^2 sin^2\theta d \phi ^2 + d\left(ict\right)^2

On doit la retrouver à grande distance de la source de gravitation, c’est-à-dire à l’infini où on doit avoir LaTeX: g_{rr}=g_{tt}=1

Principe de correspondance

On doit retrouver la loi de l’attraction universelle de Newton lorsque vitesse et gravitation sont faibles. Cette condition va nous donner LaTeX: g_{tt} grâce à une orbite circulaire dans un plan équatorial où ϑ = 0 donc aussi dϑ = 0. Le rayon étant constant, dr = 0 le coefficient LaTeX: g_{rr} n’intervient pas. On obtient une métrique simplifiée, où LaTeX: g_{rr} n’apparaît pas

LaTeX: ds^2=r^2 d \phi ^2 + g_{tt}(r) d\left(ict\right)^2

Sur la géodésique, le lagrangien formé à partir de la métrique est unitaire

LaTeX: L=\frac{ds}{ds}=1=\sqrt{-c^2g_{tt}\dot t^2+r^2\dot \phi^2}

où LaTeX: \dot t et LaTeX: \dot \phi sont les dérivées du temps-coordonnée t et de l’angle de rotation LaTeX: \phi par rapport à l’intervalle d’espace-temps s. Le chemin extrémal dans l'espace-temps s'obtient en résolvant l’équation de Lagrange en r :

LaTeX: \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot r}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0

La vitesse (en fait la dérivée LaTeX: \dot r de r par rapport à l'intervalle d'espace-temps s) n'apparaissant pas dans l'équation de Lagrange, le lagrangien se réduit à

LaTeX: \frac{\partial L}{\partial r}=0

Effectuons la dérivation, puis L = 1 et LaTeX: \dot \phi= v/r  :

LaTeX: \frac{\partial L}{\partial r}=\frac{-\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2\dot t^2+2r\dot \phi^2}{2\sqrt{-c^2g_{tt}\dot t^2+r^2\dot \phi^2}}=-\frac12\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2\dot t^2+2r\dot \phi^2=\left[-\frac12\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2+r \left(\frac{v}{r}\right)^2\right]\dot t^2


Après simplification on obtient l’équation :

LaTeX: \frac12\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2=\frac{v^2}{r}

Pour trouver la métrique, on doit identifier cette équation avec son homologue newtonienne en exprimant l’égalité des accélérations de gravitation et centripète :

LaTeX: \frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}

On obtient, en identifiant les deux relations précédentes :

LaTeX: \frac12\frac{dg_{tt}}{dr}c^2=\frac{GM}{r^2}

Cette équation différentielle s’intègre en

LaTeX: g_{tt}=-\frac{2GM}{c^2r}+K

où K est une constante d’intégration. On doit avoir LaTeX: g_{tt} = 1 à l’infini pour retrouver la métrique de Minkowski, d’où K = 1. Le coefficient de LaTeX: d(ict)^2 est donc :

LaTeX: g_{tt}=1-\frac{2GM}{c^2r}

Equation du déterminant

En relativité restreinte, la dilatation du temps est exactement l'inverse de la contraction de la longueur. On retrouve cette propriété en relativité générale en résolvant les équations d'Einstein d'une métrique statique. C'est la conservation du volume d'espace-temps d'Einstein où le déterminant de la métrique doit être égal à un. L’espace-temps se déforme sans changement de volume, la quatrième dimension étant la dimension spatiale représentée par le nombre imaginaire ict. Cette condition évite aussi que le déterminant ne devienne infini si LaTeX: g_{tt} ou LaTeX: g_{rr} le devient. Cette « symétrie » LaTeX: g_{tt}g_{rr}=1 donne le second coefficient de la métrique :

LaTeX: g_{rr}=\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}

Expression de la métrique de Schwarzschild

On a donc satisfait aux conditions fixées, ce qui permet d’écrire la métrique de façon complète et compatible avec les lois de la gravitation newtonienne :

LaTeX: ds^2= \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d \theta ^2 + r^2 sin^2\theta d \phi ^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)d\left(ict\right)^2

On trouve aussi l’écriture suivante

LaTeX: d\tau^2= -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d \theta ^2 + r^2 sin^2\theta d \phi ^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)c^2dt^2


où la vitesse de la lumière est c = 1 et où l’intervalle de temps propre LaTeX: d\tau remplace l’élément de longueur ds. Parfois la lettre s est utilisée à la place de LaTeX: \tau dans la relation précédente οù ds est un intervalle de temps et non un intervalle d’espace. Ces unités réduites ne permettent pas de faire des vérifications grâce aux équations aux dimensions ; il est préférable d’utiliser le système international SI.

Nous avons obtenu la métrique de Schwarzschild par diverses considérations de symétrie et par la nécessité d’être en accord avec la loi de la gravitation de Newton pour les mouvements circulaire et radial. La déviation de la lumière par le Soleil et la précession du périhélie de Mercure se produisent dans de faibles champs de gravitation mais ne sont pas prévisibles par la mécanique newtonienne car la trajectoire du photon dévié par le Soleil comme celle de Mercure n'est ni rectiligne ni circulaire. Einstein avait obtenu ces résultats avant l'apparition de la métrique de Schwarzschild grâce à des approximations judicieuses. La métrique de Schwarzschild, solution exacte des équations d'Einstein, remplace donc la loi de la gravitation de Newton pour expliquer ces deux phénomènes.

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