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Schrödinger 17 8 7 La mécanique quantique est généralement fondée sur l'une ou l'autre des deux équations de Schrödinger, l'une, stationnaire

$LaTeX: \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\psi =0:$

où l'énergie cinétique est T=E-V. E est l'énergie mécanique totale et V l'énergie potentielle.L'autre équation, dite d'évolution est

$LaTeX: \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + i \frac{2 m}{ \hbar} \frac{\partial \psi}{\partial t} =0:$

Voir l'article de Schrödinger de Annalen der Physik, vol.81, 1926 (traduit en français sous le titre Mémoires sur la mécanique ondulatoire, 1933)

Pour la démontrer, Schrödinger part de son équation stationnaire (il prend une masse unitaire m=1, ce que nous ne faisons pas ici). Par contre, pour simplifier le calcul, nous prenons une particule libre pour laquelle V=0.

$LaTeX: \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{2mE}{\hbar^2}\psi =0:$

E est le "paramètre d'énergie ou de fréquence". Il prend une onde monochromatique de fréquence

$LaTeX: \nu=\frac{E}{h}:$

soit

$LaTeX: \psi=e^{-\frac{iE}{\hbar} t}=e^{-i\omega} t:$

C'est une hypothèse hardie car

$LaTeX: E=h \nu=mc^2:$

est l'énergie totale relativiste. D'où la dérivée

$LaTeX: \frac{\partial \psi}{\partial t} =-i\omega\psi =-\frac{iE}{ \hbar}\psi:$

d'où

$LaTeX: \psi= \frac{\hbar}{-iE}\frac{\partial \psi}{\partial t}= i\frac{\hbar}{E}\frac{\partial \psi}{\partial t} :$

On peut donc remplacer psi dans l'équation stationnaire:

$LaTeX: \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +i\frac{2mE}{\hbar^2} \frac{\hbar}{E} \frac{\partial \psi}{\partial t}=0:$

Après simplification, on obtient l'équation d'évolution:

$LaTeX: \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +i\frac{2m}{\hbar} \frac {\partial \psi}{\partial t}=0:$

L'énergie E a disparu, d'où son intérêt. L'équation complète, en trois dimensions et avec le potentiel (inchangé dans l'opération précédente) s'écrit:

$LaTeX: \Delta \psi-\frac{2mV}{\hbar^2}\psi +i\frac{2m}{\hbar} \frac {\partial \psi}{\partial t}=0:$

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