Accélération de Coriolis

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L'accélération de Coriolis est un terme d'accélération qui intervient lorsque l'on étudie le mouvement d'un corps se déplaçant dans un référentiel en rotation par rapport au référentiel galiléen.

LaTeX: \vec{a_C} = 2 \cdot {\vec{\Omega}}_{R/R_g} \wedge {\vec{v}}_{R/R_g}

On lui fait souvent correspondre une force fictive correspondante afin de pouvoir continuer à étudier le corps considéré dans son référentiel en rotation (pour simplifier la résolution).

Calcul de l'accélération de Coriolis (Smith P.,Smith R.C., Mechanics, Wiley)

Soit LaTeX: \ \vec{r}\ le rayon vecteur du point considéré dans le référentiel absolu R d/dt l'opérateur dérivée totale dans R,LaTeX: \delta/\delta l'opérateur dérivée relative dans le référentiel en mouvement R' et LaTeX: \vec{\Omega} le vecteur vitesse de rotation instantanée. L'opérateur dérivation totale s'écrit alors selon la formule de Varignon:

LaTeX: \frac{d}{dt}=\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge

Cette expression peut se mettre au carré:

LaTeX: \frac{d^2}{dt^2}=(\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge )(\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge )
LaTeX: \frac{d^2}{dt^2}=\frac{\delta^2}{\delta^2 t}+ \frac{\delta}{\delta t}(\vec{\Omega}\wedge) + \vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge
LaTeX: \frac{d^2}{dt^2}=\frac{\delta^2}{\delta^2 t}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge+ \vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge=\frac{\delta^2}{\delta^2 t}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge+ 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge

On remarque que, si la vitesse de rotation LaTeX: \vec{\Omega} est constante, on retrouve la formule LaTeX: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, ce qui explique le coefficient 2 de l'accélération de Coriolis.

On peut maintenant appliquer l'opérateur dérivée totale seconde au rayon vecteur LaTeX: \ \vec{r}\ :

LaTeX: \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\frac{\delta^2\vec{r}}{\delta^2 t}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge\vec{r}+ 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge\vec{r}

L'accélération absolue

LaTeX: \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}

est la somme de quatre termes, l'accélération relative,

LaTeX: \frac{\delta^2\vec{r}}{\delta^2 t}

l'accélération tangentielle,

LaTeX: \frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge\vec{r}

l'accélération de Coriolis:

LaTeX: 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}

et l'accélération centripète

LaTeX: \vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge\vec{r}

Il est inutile de faire intervenir une force fictive, l'accélération de Coriolis est purement cinématique.


Réécriture en notations cohérentes (tensorielles, donc).

Bien que recopiées d'un manuel, les définitions et notations ci-dessus sont fort critiquables, et pédagogiquement manquent leur but. De plus la notation franco-française LaTeX: \wedge squatte la notation du produit extérieur pour dénoter en réalité le produit "vectoriel", ou "cross-product" des anglo-saxons. Au grand dam de la clarté et de la rigueur.

Il est incohérent de noter par LaTeX: \ \vec{r}\ la position par rapport à un référentiel absolu. L'erreur de traduction est probable.

De plus pour le grand public, il est inextricable de deviner dans quel sens va agir l'accélération de Coriolis ni ce qu'elle est au juste, et dans la littérature de vulgarisation les erreurs sont fréquentes.

Or ces mathématiques - de surcroît sur bases incohérentes - sont assez inutiles puisque dans quatre cas sur six le principe général de conservation du moment angulaire suffit à prédire les trajectoires inertielles réelles, par rapport au repère terrestre. Pour les deux cas non couverts par la conservation du moment angulaire, c'est la composition des vitesses angulaires qui donne la réaction d'inertie centrifuge corrigée. Il va suffire de prendre le référentiel terrestre, d'examiner deux situations, l'une à l'équateur, l'autre près du pôle Nord, et les trois directions de vitesse : vers le bas, vers le Sud, vers l'Est. Puis il ne restera plus qu'à résumer cela mathématiquement.

A l'équateur

Chute verticale, donc diminution du rayon, augmentation inversement proportionnelle de la vitesse angulaire totale pour maintenir le moment angulaire constant, si la chute est non contrainte ==> déviation vers l'Est.
Vitesse vers le Sud : effet nul.
Vitesse vers l'Est : augmentation de la vitesse angulaire totale ==> déviation vers le haut (par inertie centrifuge accrue).
A la limite, regarder les satellites géostationnaires.


Près du pôle Nord

Chute verticale : effet nul.
Vitesse vers le Sud : augmentation du rayon, donc ralentissement de la rotation pour maintenir le moment angulaire constant, déviation vers l'Ouest.
Vitesse vers l'Est : augmentation de la vitesse angulaire totale ==> déviation vers le Sud (par inertie centrifuge accrue).


Calcul quantitatif

Il semble que des lecteurs aient des difficultés avec ce coefficient 2, en provenance du développement du carré d'une somme, d'où la période de parcours de cercle inertiel de 11 h 58 mn à la limite des hautes latitudes et basses vitesses, soit la moitié de la période stellaire de la Terre, ce qui ne manque pas de surprendre.

Vitesse tangentielle

Commençons par le cas facile, de la vitesse Est-Ouest, où les vitesses angulaires, de la Terre et du mobile par rapport à la Terre sont coplanaires, donc s'ajoutent algébriquement. On va les noter par une seule lettre chacune, LaTeX: \Omega et LaTeX: \omega, et en module seulement.
Vers l'Ouest :
LaTeX: \Omega_{total}^2 = (\Omega - \omega)^2 = \Omega^2 - 2.\Omega.\omega + \omega^2.
Vers l'Est :
LaTeX: \Omega_{total}^2 = (\Omega + \omega)^2 = \Omega^2 + 2.\Omega.\omega + \omega^2.
Donc ne considérer que le premier terme du développement limité, en LaTeX: 2.\Omega.\omega, n'est valide que jusqu'à LaTeX: \omega valant 8 à 10 % de LaTeX: \Omega. C'est donc très vite invalide pour un missile, un obus, une balle de mousquetterie, et d'autant plus que la latitude est élevée.

Vitesse radiale

A la distance r de l'axe polaire, une vitesse radiale de dr/dt modifie le moment angulaire, ce qui non seulement modifie l'accélération centripète imposée par la liaison, mais aussi exige une intervention tangentielle par le système de guidage, pour augmenter (dr/dt > 0) ou diminuer (dr/dt < 0) le moment angulaire et l'énergie cinétique du mobile.
Notons A le quotient du moment angulaire initial par la masse du mobile : r².LaTeX: \Omega.
A' le moment angulaire massique final = (r+dr)².LaTeX: \Omega,
A'-A = LaTeX: \Omega.(2.dr +dr²) =2.LaTeX: \Omega.dr.
Cette différence a été obtenue par le moment moyen de l'accélération de Coriolis, durant le temps dt : LaTeX: \gamma_C.r.dt
D'où LaTeX: \gamma_C = 2.\Omega.\frac{\delta{r}}{\delta t}, avec le signe + vers l'Est pour dr/dt > 0.



Mise en forme mathématique tensorielle

Accélération de Coriolis imposée par les liaisons (de guidage) avec le repère non galiléen en rotation : LaTeX: 2\breve{\Omega}.\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}
(où LaTeX: \breve{\Omega} désigne la vitesse angulaire de la Terre par rapport aux étoiles fixes, et LaTeX: \vec{r} désigne la position dans le repère terrestre, donc LaTeX: \frac{\delta\vec{r}}{\delta t} désigne sa vitesse dans le repère terrestre)
et elle est mesurée avec un accéléromètre qui soit assez sensible pour les conditions expérimentales choisies.
Pourquoi le coefficient 2 ? Parce qu'on développe le carré d'une somme de vitesses angulaires, et que l'accélération centripète en mouvement circulaire (à trajectoire contrainte, donc) est proportionnelle au carré de la vitesse angulaire (totale).

Alors qu'au contraire le mouvement inertiel libre tourne par rapport au repère terrestre comme la voûte du ciel par rapport à la Terre, et il se constate avec des bouées dérivantes dans la mer, ou des ballons-sondes dérivants, dans l'atmosphère.

Calculs explicites en coordonnées cartésiennes

Choisir un système d'axes.

Il semble naturel de prendre pour axe z un zénith à un pôle. Quel pôle, Sud ou Nord ? Aucune espèce d'importance : les coordonnées du tourneur vitesse angulaire de la Terre n'en seront pas affectées. Prenons le zénith Nord, puisque la majeure partie de la population est dans l'hémisphère Nord.
Pour axe x, évidemment la direction du méridien zéro de Greenwitch.
Pour axe y, 90° Est ou 90° Ouest ? Plouf-plouf !
Choisissons y dans les fuseaux horaires croissants, le fuseau + 6 qui passe par le Bengla Desh, donc 90° Est.
Ce trièdre Oxyz est-il direct ou pas ? On s'en fout, on n'est plus dirigés par Oliver Heaviside.


Coordonnées dans ce système d'axes

Quel est le module du tenseur (= ici "tourneur") vitesse angulaire de la Terre ?
LaTeX: \Omega = 1 tour par jour sidéral = 1 tour / 86164,09 secondes = 72,92 micro-radian/seconde, de nos jours.
Ses coordonnées dans ce repère : LaTeX: \Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}

Application à une vitesse de 1 m/s en direction y :

Coordonnées de LaTeX: \vec{\gamma_C} dans cette base = LaTeX: 2.\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-1} = 145,84. 10^{-6}.\begin{bmatrix}-1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-2}

Et pour une vitesse de 1 m/s en direction x :

Coordonnées de LaTeX: \vec{\gamma_C} dans cette base = LaTeX: 2.\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-1} = 145,84. 10^{-6}.\begin{bmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-2}

Telles sont les accélérations de Coriolis imposées par les liaisons de guidage liées à la Terre, pour imposer au mobile une trajectoire non inertielle. On aura remarqué qu'elles sont indépendantes de la position du mobile.

On aura remarqué que l'unité physique "radian" a disparu des notations tensorielles, puisque sa signification "quotient de deux longueurs perpendiculaires, ou de deux grandeurs en quadrature de phase" est directement prise en compte par l'écriture complète des coordonnées.

On aura remarqué aussi que les coordonnées selon z ne sont jamais intervenues. Seule intervient la projection du vecteur vitesse dans la direction de plan équatorial xy. Le tourneur LaTeX: \breve\Omega et l'accélération LaTeX: \vec{\gamma_C} sont toujours dans la direction du plan équatorial.

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