Voir la source de Relativité restreinte

La relativité restreinte est une extension de la mécanique rationnelle où la vitesse est limitée à celle de la lumière, c, constante dans le vide de matière et de rayonnement. Malgré son nom, le principe de relativité est celui de Galilée, mis à mal par Newton, réhabilité par Einstein.

== Expérience de Michelson-Morley ==


Maxwell a inventé  l'Ether qui devait être le support matériel pour la propagation des ondes électro-magnétiques (lumière), et il a imaginé une expérience pour mesurer la vitesse absolue (par rapport au référentiel constitué par l'Ether) du système solaire grâce aux éclipses d’Io. Malheureusement, la précision était insuffisante. Michelson et Morley ont monté ensuite une expérience qui permettait de mesurer le vent d'Ether avec une précision de quelques km/s ; puis ils ont perfectionné le système pour atteindre une précision de 400 m/s. L'interféromètre était pointé vers la constellation de la Vierge. La mesure se faisait par comparaison des franges d'interférence obtenues en tournant l'appareil de 90°, de sorte qu'il a pu comparer l'influence de la vitesse de l'éther dans les directions parallèle et perpendiculaire au vent d'Ether. On n'obtient pas de comparaison directe, ni avec l'immobilité puisque le mouvement de l'Ether ne peut être arrêté, ni en aller simple puisque le principe de l'interféromètre est de faire interférer le rayon lumineux réfléchi par les miroirs avec lui-même.

Le résultat de l'expérience a été négatif : la lumière se comporte comme s'il n'y avait pas de vent d'Ether. Le calcul du déplacement des franges dans l'hypothèse de l'addition galiléenne des vitesses est donc faux. Pour le corriger, on a complété la relativité galiléenne par les hypothèses de la dilatation du temps et de la contraction des longueurs. On peut aussi utiliser la transformation de Lorentz, conséquence des équations de Maxwell, qu'Einstein a redémontrée à partir de considérations simples sans rapport avec l'électrodynamique en imaginant, après d'Alembert, que le temps était une quatrième dimension, donnant, par exemple, un espace-temps euclidien à quatre dimensions, x,y,z, w=ict.

== Transformation de Lorentz ==

La transformation de Lorentz se distingue essentiellement de celle de Galilée par l'introduction de la relativité du temps qui fait que la vitesse absolue n'est plus simplement la somme de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Le référentiel R, dit de l’observateur, considéré en général comme immobile, correspond au référentiel absolu de la cinématique classique, R’ au référentiel relatif et v à la vitesse d’entraînement. On se limite généralement à deux dimensions en faisant coïncider le vecteur vitesse avec l’axe des abscisses de sorte que les coordonnées y et z n'interviennent pas. La démonstration présentée ici est concise. On trouvera plus de détails dans le livre d'Einstein [http://web.mit.edu/birge/Public/books/Einstein-Relativity.pdf Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory] ou ailleurs [http://www.publibook.com/boutique2006/detail-3102-0-0-1-PB.html Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés]. 
Comme la transformation de Galilée, celle de Lorentz est linéaire c'est-à-dire que la vitesse relative v des référentiels R et R' doit être constante : on dit qu'ils sont inertiels ou galiléens. La vitesse de la lumière doit être indépendante de celle de la source (c constante dans les référentiels inertiels). Selon le principe de relativité aucun référentiel galiléen (ni même aucun tout court selon Mach) n'est privilégié.

===Référentiels galiléens===

En cinématique classique, le déplacement total x dans le référentiel R est la somme du déplacement relatif x’ dans le référentiel R’ et du déplacement d'entraînement vt du référentiel R’ par rapport à R à la vitesse v : x = x’+vt ou x’=x-vt. Cette relation est linéaire lorsque la vitesse v est constante, c'est-à-dire lorsque les référentiels R et R' sont galiléens. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. La relation linéaire la plus générale possible, c’est-à-dire avec quatre coefficients constants, α, β, γ et v est :

:<math>x'=\gamma\left(x-vt\right)</math>

:<math>t'=\beta\left(t+\alpha x\right)</math>


Que l'on peut écrire sous forme matricielle : 
:<math> \begin{pmatrix} x' \\ ct' \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma v/c \\ \beta \alpha c & \beta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x \\ ct \end{pmatrix} </math>

La transformation de Lorentz devient celle de Galilée pour β = γ = 1 et α = 0. 

===Vitesse de la lumière indépendante de celle de la source===

La lumière n'est pas soumise à la vitesse d'entraînement, comme l'a montré l'expérience de Michelson. Pour que la vitesse c de la lumière soit constante quel que soit le référentiel, on doit avoir x = ct si x’ = ct’. En remplaçant x et x’ dans les deux équations précédentes, on a


:
<math>ct'=\gamma\left(c-v\right)t</math>

<math>t'=\beta\left(1+\alpha c\right)t</math>


En y remplaçant t’ à l’aide de la seconde équation, la première équation devient :


:
<math>c\beta\left(1+\alpha c\right)t=\gamma\left(c-v\right)t</math>

 
Après simplification par t et division par cβ, on obtient la relation

:
<math>1+\alpha c=\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c}) </math>

===Principe de relativité===

====Première méthode====
D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative. La transformation inverse est donc, en utilisant la constance de la vitesse de la lumière x = ct et x’ = ct’:


:
<math>x=ct=\gamma\left(x'+vt'\right)=\gamma\left(c+v\right)t'</math>

<math>t=\beta\left(t'+\alpha x'\right)=\beta\left(1+\alpha c\right)t'</math>


La transformation directe s'écrit, de même:


:
<math>x'=ct'=\gamma\left(x-vt\right)=\gamma\left(c-v\right)t</math>

<math>t'=\beta\left(t+\alpha x\right)=\beta\left(1+\alpha c\right)t</math>


Utilisons l'expression de x dans la première équation ci-dessus, puis celle de t' dans la dernière et, enfin, l'expression de 1+αc donnée dans le paragraphe précédent:


:
<math> x=ct=\gamma (c + v) t'=\gamma (c + v)\beta (1 + \alpha c) t=\gamma (c + v)\beta (\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c})t= \gamma^2 (1-\frac{v^2}{c^2})c t</math>


D'où, après simplification par ct, le facteur de Lorentz:

:
<math>\gamma=\frac{1}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>

Remplaçons x par ct dans la seconde relation de Lorentz réciproque, puis remettons x=ct:


:
<math>  t'=\beta (1+\alpha c)t= \beta[\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c})]t = \gamma(t-\frac{vt}{c}) = \gamma(t-\frac{vx}{c^2})</math>

ce qui est la transformation de Lorentz réciproque du temps. On a donc β=γ et <math>\alpha=-v/c^2</math>.
====Seconde méthode====
La démonstration qui suit ne fait pas appel à la vitesse de la lumière et permet donc de séparer le principe d'invariance et celui de relativité.
La transformation inverse de
:<math>x'=\gamma\left(x-vt\right)</math>
:<math>t'=\beta\left(t+\alpha x\right)</math>
est :
:<math>x=\frac{1}{1-\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}-\frac{vt'}{\beta}\right)</math>
:<math>t=\frac{1}{1-\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>
Conformément au principe de relativité, les expressions de x et de t doivent s'écrire:
:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)</math>

:<math>t=\left(t'+\alpha x'\right)</math>
doivent être égales aux expressions de départ sauf pour le signe de la vitesse qu'on doit changer :
:<math>x=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>

:<math>t=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>
 
On doit donc avoir les identités, vérifiées quels que soient x’ et t’ :
:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>

:<math>t=\left(t'+\alpha x'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>

 
Cela donne les égalités :

:<math>\beta =\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha v}}</math>

===Expression de la transformation de Lorentz===
En utilisant la relation 
:<math>1+\alpha c=\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c}) </math>

du paragraphe précédent, on a :
:<math>\alpha =-\frac{v}{c^2}</math>
et, finalement:
:<math>\beta =\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>
Nous avons donc tous les coefficients recherchés et, donc, la transformation de Lorentz. Elle s'écrit, pour l'abscisse et le temps, c'est-à-dire en deux dimensions:

:
<math> x=\frac{x' + vt'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>


:
<math>t=  \frac{t' + \frac{vx'}{c^2}}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>

La transformation inverse de Lorentz s'écrit, en utilisant le facteur de Lorentz γ:

:
<math>x'=  \gamma\left(x - vt\right) </math>


:
<math>t'=\gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) </math>

On utilise ces quatre équations selon les besoins.

Sous forme matricielle, ceci s'écrit 

:
<math>\begin{pmatrix} x' \\ ct' \end{pmatrix} = L \begin{pmatrix} x \\ ct \end{pmatrix}</math>

où 

:
<math>L = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma v/c \\ -\gamma v/c & \gamma \end{bmatrix}</math>

avec L (pour Lorentz, parfois Λ) matrice symétrique de déterminant 1, d'inverse

:
<math>L^{-1}=\begin{bmatrix} \gamma & \gamma v/c \\ \gamma v/c & \gamma \end{bmatrix}</math>

La véritable base de la relativité restreinte est la transformation de Lorentz qui généralise celle de Galilée aux vitesses non négligeables par rapport à celle de la lumière. Elle exprime la transformation des déplacements et du temps qui dépendent tous deux de la vitesse relative entre les référentiels R et R'. 

=== Dilatation du temps ===


Soit une horloge immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La cadence de cette horloge est Δt’ au repos, dans son référentiel propre R' et Δt vue de R. Comme elle est immobile par rapport à R', sa position y est fixe, par exemple, Δx'=0. On choisit, parmi les quatre équations de la transformation de Lorentz, celle qui contient à la fois t, t' et x':


:
<math>\Delta t=  \frac{\Delta t' + \frac{v\Delta x'}{c^2}}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \frac{\Delta t'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }  </math>


L’intervalle entre deux battements d’horloge apparaît plus important sur une horloge en mouvement à un observateur au repos. Il devient infini lorsque la vitesse de l’horloge atteint celle de la lumière. Le temps de l’horloge en mouvement ne s’écoule plus (pour l’observateur distant seulement). Une particule de durée de vie limitée, par exemple un méson, a une durée de vie apparente bien plus grande si elle se déplace à très grande vitesse. 

Supposons maintenant que l’observateur se place en R’ et regarde une pendule placée en R. On aura exactement la même formule, mais t et t’ seront permutés. En effet, le mouvement est relatif, il n’y a pas de mouvement absolu mais symétrie entre deux référentiels galiléens.

=== Contraction des longueurs ===


Soit une règle immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La longueur au repos de cette règle est Δx' pour un observateur dans R’. Elle apparaît sous une longueur Δx pour un observateur dans R. Pour faire cette mesure, l’observateur dans R fait une photo en instantané, c’est-à-dire, par exemple, à l'instant t = 0. Il prend un cliché de la règle en mouvement, de longueur Δx qu'il compare à Δx’, longueur de la même règle au repos. Il connaît donc Δx, Δx’ et Δt=0. La relation de Lorentz à utiliser, où ces variables apparaissent est :

:
<math>\Delta x'  =\frac{ \Delta x - v\Delta t}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } =\frac{\Delta x}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }</math>

La formule a la même forme que pour le temps, sauf qu'à gauche on a maintenant x' au lieu de t, ce qui fait que les longueurs se contractent alors que le temps se dilate, ce qui s'écrit généralement:

:
<math>\Delta x =\Delta x' \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} </math>

== Métrique de Minkowski ==

L'espace euclidien est caractérisé par la validité du théorème de Pythagore qu'on écrit sous la forme d'une métrique, soit, en deux dimensions:


:<math>\left. ds^2= dx^2 + dy^2\right. </math>


En y faisant y=ict, on obtient la métrique de Minkowski qui caractérise l'espace pseudo euclidien de la relativité restreinte:

:
<math>ds^2=dx^2+d(ict)^2=dx^2-c^2dt^2=-c^2\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math> 


Où on a fait apparaître la vitesse relative v du référentiel R' par rapport au référentiel R. On écrit souvent la métrique de Minkowski sous la forme:

:
<math>d\tau^2=dt^2-\frac{dx^2}{c^2}=\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math> 


où τ est le temps propre et t le temps-coordonnée. Pour simplifier l'écriture, on prend parfois c=1, mais cela interdit toute vérification par les équations aux dimensions. Écrivons la transformation de Lorentz sous forme différentielle, dans l'hypothèse où v est constante (référentiels R et R' galiléens):


:
<math>dx=  \gamma\left(dx' + v dt'\right) </math>


:
<math>dt=\gamma\left(dt' + \frac{v dx'}{c^2}\right) </math>

En remplaçant, dans la métrique de Minkowski, dx et dt en fonction de dx' et dt' grâce à la transformation de Lorentz, on obtient:

:
<math>ds^2=dx^2-c^2dt^2=\gamma^2\left(dx' + v dt'\right)^2 -c^2\gamma^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2 =\gamma^2\left[\left(x' + v dt'\right)^2 -c^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2\right] </math> 

Développons et simplifions:

:
<math>ds^2=\gamma^2\left(dx'^2 + v^2 dt'^2 +2vdx'dt' -c^2dt'^2 - \frac{v^2dx'^2}{c^2} -2vdt'dx' \right)= \frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)\left(dx'^2 -c^2dt'^2\right)</math> 


La métrique de Minkowski ayant subi la transformation de Lorentz s'écrit donc:

:<math>\left. ds^2=dx'^2-c^2dt'^2\right. </math>


On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.

== Paradoxe des jumeaux de Langevin==
Le paradoxe des jumeaux de Langevin ou des horloges consiste à comparer l'heure donnée par deux horloges de haute précision comme les horloges atomiques, l'une restant sur Terre et l'autre faisant un voyage autour de la Terre ou dans le cosmos. On compare les indications des deux horloges à l'aller et au retour.

Utilisons la notion d'espace-temps, imaginée par d'Alembert, concrétisée par Minkowski et généralisée par Einstein à l'espace courbe pseudo-riemannien. 
Commençons par un espace euclidien à deux dimensions, le plan, où se déplacent deux jumeaux partant de l'origine O des axes Ox et Oy pour atteindre un point P sur l'axe des y. Le premier prend le chemin direct en longeant l'axe des y, l'autre fait un détour pour arriver en P.
Le premier aura parcouru la droite Oy sur une distance
:<math>s_1=\int_{0}^P {dy}=y_P </math>
et le second une courbe de longueur d'arc
:<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2+dy^2}>y_P</math>
Lorsqu'ils arrivent en P, ils ont les mêmes coordonnées (0,y<sub>P</sub>). 
Changeons maintenant de variable en posant y=ict, où i est la racine carrée de -1, c, la vitesse de la lumière et t, le temps. Maintenant le trajet doit être monotone en t puisqu'on ne peut remonter le temps. Le premier jumeau, casanier, reste immobile à l'origine de l'axe des x mais il se déplace selon l'axe du temps de t=0 à t=t<sub>P</sub>. Il faut remarquer que le référentiel utilisé, tournant avec la Terre, est, en toute rigueur, non galiléen (ptoléméen, ce qui est assez curieux en relativité). Le jumeau casanier aura parcouru, en restant immobile, un chemin uniquement temporel:

:
<math>s_1=\int_{0}^P d(ict)=ict_P </math>

Le jumeau voyageur aura fait un aller-retour le long de l'axe des x. Le long de l'axe du temps, il aura fait le même trajet que son jumeau casanier, de (0,0) à (0,t=t<sub>P</sub>) ce qui lui fait un chemin à la fois d'espace et de temps:
 

:
<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2-c^2dt^2}</math>

Pour éviter les nombres imaginaires s<sub>1</sub> et s<sub>2</sub>, on préfère souvent utiliser le temps propre τ qui est le temps affiché par l'horloge du jumeau casanier dans son référentiel propre car le déplacement x y est nul:
 

:
<math>\tau_1=\int_{0}^P dt=t_P</math>

et 
 

:
<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{dt^2-\frac{dx^2}{c^2}}<t_P</math>

On a  τ<sub>2</sub><τ<sub>1</sub>. Le chemin τ<sub>2</sub> parcouru dans l'espace-temps par le second jumeau est donc plus court que celui du jumeau casanier qui ne s'est déplacé que dans le temps. Au contraire de l'espace euclidien, faire un détour raccourcit le chemin à cause du signe - dû au carré de i. Ce chemin n'est pas une géodésique car le moteur de la fusée permet de se déplacer selon une courbe quelconque. D'ailleurs, en relativité restreinte, les géodésiques sont des droites. À la fin du voyage, les horloges se trouvent au même point d'espace-temps qu'au départ, l'horloge reprend son rythme initial. On aurait pu imaginer que les jumeaux comparent leurs règles: elles raccourciraient pendant le voyage mais reprendraient leur longueur initiale au retour. Ceci n'est pas possible pour le temps car il s'écoule inéluctablement dans le même sens. Il n'est toutefois pas exclu que la cadence de l'horloge puisse s'accélérer pendant la décélération à l'arrivée et rattraper ainsi son retard. Il n'y a pas d'avance puisque la vitesse ralentit toujours le rythme des horloges distantes, sous réserve du rôle de l'accélération. La vitesse du jumeau voyageur apparaît en posant  v =dx/dt et on peut écrire&nbsp;:

:<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt<t_P</math>

Le jumeau voyageur vieillirait donc moins vite que son jumeau resté à terre. Cependant on suppose qu'un des jumeaux reste immobile alors que l'autre est en mouvement galiléen, ce qui produirait une dissymétrie. Cette idée est en fait contraire au principe de relativité puisqu'il n'existe pas de référentiel absolu. De plus, aucun des deux jumeaux ne se trouve dans un référentiel galiléen, l'un parce qu'il voyage dans une fusée accélérée et l'autre, immobile par rapport au sol terrestre, ne l'est pas dans un référentiel copernicien.

Les preuves expérimentales de la dilatation du temps sont quotidiennes sur des particules de vitesse proche de celle de la lumière, que ce soit dans les accélérateurs de particules ou dans la nature (rayons cosmiques par exemple) mais il est plus difficile de réaliser concrètement une "expérience des jumeaux" idéale, principalement parce que les vitesses de nos avions ou de nos fusées sont très faibles devant celle de la lumière. Cependant la précision requise est à la portée des horloges atomiques actuelles et des moyens de mesure. Toutefois la précision des mesures est telle que l'effet de relativité restreinte est mélangé aux effets de relativité générale dûs à la gravitation (l'avion vole par exemple à une certaine altitude, où la gravitation est plus faible) et par conséquent c'est l'ensemble de tous ces effets relativistes, par ailleurs indéniables, qui doivent être pris en compte. Rappelons que le système de repérage de position par satellites, ou GPS, inclut dans ses mesures et calculs l'ensemble des effets relativistes, y compris ceux de relativité générale. En pratique, vu le grand nombre d'effets (atmosphère, trajectoire non-circulaire…), le GPS fonctionne plus par essais et erreurs que par la relativité.
[http://www.ldolphin.org/geocentricity/Aspects.pdf About scientific (& theological) aspects of Geocentricity].

En conclusion, comme l'a montré l'expérience des mésons, la vitesse a une influence sur leur horloge interne, vue par un observateur immobile et distant. Toutefois, il reste encore à prouver, expérimentalement et théoriquement, de façon incontestable que, lorsque les horloges sont réunies au départ, on mesure  un décalage calculable en tenant compte des accélérations de chacune des horloges lorsqu'on les réunit à nouveau.

== Composition des vitesses ==


La transformation de Lorentz sous forme différentielle peut s'écrire:

:
<math>dx=  \gamma\left(dx' + vdt'\right) =  \gamma\left(v'_{x} + v\right)dt' </math>


:
<math>dt=\gamma\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)=\gamma\left( 1+ \frac{vv'_{x}}{c^2}\right)dt' </math>

où v<sub>x</sub>=dx/dt est la vitesse "absolue" de la cinématique classique dans le référentiel R et  v'<sub>x</sub>=dx'/dt' la vitesse relative  dans R. En faisant le rapport v<sub>x</sub>=dx/dt et  v'<sub>x</sub>=dx'/dt' on a, pour des vitesses colinéaires :


:
<math>v_{x}= \frac{dx}{dt} =\frac{v + v'_{x}}{1+ \frac{v v'_{x}}{c^2}} </math>

où v<sub>x</sub> est la vitesse "absolue" et v'<sub>x</sub> la vitesse relative. En relativité, toutes les vitesses sont relatives, c'est pourquoi la vitesse absolue est à remplacer par la vitesse v<sub>x</sub> dans le référentiel R de l'observateur. La vitesse relative v'<sub>x</sub> est la vitesse dans le référentiel R' mobile par rapport à l'observateur. La vitesse v est la vitesse du référentiel R' dans le référentiel R. Cette formule donne bien une limitation de vitesse, comme on le voit en remplaçant v'<sub>x</sub> par c pour obtenir v<sub>x</sub>=c. Pour une vitesse de la lumière infinie, on retrouve l'addition galiléenne des vitesses.

== Transformation des accélérations ==


En cinématique classique les accélérations ne dépendent pas de la vitesse du référentiel galiléen utilisé puisque puisque sa vitesse étant constante, sa dérivée, l'accélération, est nulle. En relativité, du fait de la contraction des longueurs et de la dilatation du temps, le changement de référentiel galiléen change l'accélération. 
 
Soient dv<sub>x</sub>/dt et dv'<sub>x</sub>/dt', les accélérations d’une particule d’abscisses x et x’ dans les référentiels R de l’observateur et R’ mobile. Comme l’accélération est la dérivée seconde de l’espace par rapport au temps et que, comme les référentiels sont galiléens par hypothèse, γ est une constante, cela donne

:<math> \frac{dv_{x}}{dt}= \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2 \left(\frac{x'}{\gamma }\right)}{d\left(\gamma t'\right)^2}= \gamma^{-3} \frac{d^2x'}{dt'^2}=\gamma^{-3} \frac{dv'_{x}}{dt'}=\left(\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}\right)^{3} \frac{dv'_{x}}{dt'}</math>

En liant le référentiel R' à une particule accélérée, on a v=v<sub>x</sub>, c'est-à-dire que les référentiels R et R' ne sont plus rigoureusement galiléens. Aux faibles vitesses, on est dans le domaine newtonien, γ≈1, les accélérations sont pratiquement égales dans R et R'. Aux vitesses proches de celle de la lumière, l'accélération, vue de R, est faible, la vitesse étant limitée à c, la variation de γ≈0 est faible. Ce n'est qu'aux vitesses intermédiaires que la variation de γ peut n'être pas négligeable. Cette approximation semble valable d'après les mesures, rares malgré les sommes astronomiques dépensées pour les accélérateurs de particules. En posant v'=v'<sub>x</sub>, on a:

:<math> \gamma^{3}\frac{dv}{dt}= \frac{dv'}{dt'}</math>


En utilisant l'identité due, semble-t-il, à Lorentz (H. A. Lorentz, The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat, Courier Dover Publications, 2003):

:<math>d\left(\gamma v\right)=\gamma dv+v d\gamma=\frac{1}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } \left(\ 1+ \frac{v^2}{ 1 -\frac{v^2}{c^2}}   \right)dv=\gamma^{3}dv</math>

on obtient:

:<math>\frac{d\left(\gamma v\right)}{dt}=\frac{dv'}{dt'}</math>

v' étant la vitesse dans le référentiel propre, elle doit  y être nulle, alors que l'accélération ne l'est pas. C'est comme dans un ascenseur ou dans une voiture où on ressent l'accélération alors qu'on y est immobile.

==Dynamique relativiste==
=== Loi de Newton relativiste ===
Multiplions les deux membres de l'équation de la transformation des accélérations par la masse au repos m<sub>0</sub>, constante:

:<math>\frac{d\left(m_{0}\gamma v\right)}{dt}=\frac{d\left(m_{0}v'\right)}{dt'}=F'</math>


Dans le référentiel R' où la vitesse de la particule est faible ou nulle, la loi fondamentale de la dynamique classique de Newton s'applique. Le terme de droite représente donc la force F' dans le référentiel R'. Si on admet que la force ne dépend pas du référentiel puisqu'elle s'applique à la particule et est donc absolue, on a F=F' et, donc

:<math>F=\frac{d\left(m_{r}v\right)}{dt}</math>

où m<sub>r</sub> est la masse relativiste, apparaissant à l'observateur distant, variable en fonction de la vitesse:

:
<math>m_{r}=\frac{m_{0}}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>

L'apparition de la loi fondamentale de la dynamique en relativité restreinte montre bien que la restriction aux référentiels galiléens n'est pas une condition sine qua non.

=== Énergie cinétique ===


Dans un référentiel en mouvement à la vitesse v par rapport à l’observateur, contrairement à la transformation de Galilée, la transformation de Lorentz donne une accélération dépendant de la vitesse relative des référentiels, même galiléens (nous nous limitons au cas où vitesse et accélération sont colinéaires). Pour produire l’accélération a = dv/dt, il faut appliquer une force, définie par la loi de Newton relativiste, comme étant la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement m<sub>r</sub>v. La variation d’énergie cinétique étant égale au travail de la force appliquée F pour un déplacement dx, on a, en utilisant la loi de Newton relativiste :
 
:<math>dT=Fdx=Fvdt=\frac{d\left(m_{r}v\right)}{dt}v dt=m_{0}vd\left(\gamma v\right)</math>

Utilisons une identité analogue à celle de Lorentz, vue plus haut:

:<math>vd\left(\gamma v\right)=v\gamma dv+v^2 d\gamma=\frac{v}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } \left(\ 1+ \frac{v^2}{ 1 -\frac{v^2}{c^2}}   \right)dv=c^2d\gamma</math>

La variation d’énergie cinétique devient dT=m<sub>0</sub>dγ. En intégrant cette équation, on obtient 


:<math>T=\left. m_{0}\gamma  c^2\right. +constante</math>

L’énergie cinétique doit être nulle lorsque la vitesse v est nulle, c’est-à-dire lorsque γ=1. Pour annuler l'énergie cinétique au repos, la constante d'intégration doit être

:<math>-\left. m_{0}c^2\right.</math>

L’énergie cinétique est donc:

:<math>T=\left(m_{r}-m_{0}\right) c^2</math>

à un coefficient universel près, égale à la différence entre la masse au repos m<sub>0</sub> et la masse en mouvement ou relativiste m<sub>r</sub>. Les deux masses ont des indices pour éviter toute confusion due à l'utilisation de la lettre m seule.

=== Démonstration de E=mc² ===


L’énergie totale relativiste E = mc² ne doit pas être confondue avec l'énergie mécanique totale classique E = T + V qui est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, définie à une constante additive près. Cette confusion a été faite par Schrödinger, non pas dans l'équation stationnaire mais dans l'équation d'évolution où apparaît une dérivée première. "Cette équation ne se démontre pas" paraît-il, et pour cause, puisqu'elle est fausse. La proportionnalité entre masse et énergie est bien connue des automobilistes. L’énergie contenue dans une masse de carburant donnée lui est proportionnelle selon un coefficient dépendant du pouvoir calorifique du carburant. Il doit exister une valeur K de ce coefficient correspondant à l’énergie maximale disponible dans la matière, c’est-à-dire lorsque toute la matière est transformée en énergie pure, chaleur, rayonnement, électrique, mécanique ou autre. Ce coefficient de proportionnalité K doit être une constante universelle, indépendante de la nature du matériau, de la même manière que l'accélération de la gravité, et du référentiel, donc de la vitesse. Pour un même objet, l’énergie totale relativiste est 
E<sub>r</sub> = Km<sub>r</sub> dans le référentiel de l’observateur et E<sub>0</sub>=Km<sub>0</sub> 
dans le référentiel propre de l’objet. La différence de ces deux énergies,

:<math>T=\left(Km_{r}-Km_{0}\right)</math>

est due uniquement à la vitesse, puisque la masse relativiste m<sub>r</sub> ne dépend que de la vitesse relative entre l'objet considéré et l'observateur: c’est l’énergie cinétique, récupérable par l’observateur en arrêtant par exemple un projectile dont la masse (relativiste) en mouvement m<sub>r</sub> devient m<sub>0</sub> à l’arrêt. L’application de la transformation de Lorentz, de la loi fondamentale de la dynamique et de la définition de l’énergie a montré dans le paragraphe précédent que l’énergie cinétique était

:<math>T=\left(m_{r}-m_{0}\right)c^2</math>

En identifiant ces dernières expressions, on trouve

:<math>\left .K=c^2\right.</math>

L’énergie totale relativiste est donc, en appelant m la masse, qu'elle soit en mouvement ou au repos:

:<math>  \left .E=mc^2\right.</math>

L'équation la plus célèbre du <math>XX^{e}</math> siècle a donc été démontrée à partir de la transformation de Lorentz et des lois de Newton.