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L'objet de cet article est de démontrer l'équation de Schrödinger indépendante du temps à partir de l'onde de de Broglie.

==Masse et vibration==
===Particule matérielle===
L’énergie E, la masse m et la fréquence interne ν d’une particule matérielle sont reliées selon la formule d’Einstein-Planck qui établit l'équivalence entre énergie, masse et fréquence :
:<math>\left. E = h \nu = m c^2 \right.</math>. 

où c est la vitesse de la lumière et h la constante de Planck. Energie, masse et fréquence sont donc proportionnelles en vertu des relations précédentes. Rappelons la formule de la masse relativiste d'Einstein :
:<math>m_r=  \frac{m_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }  </math>

<math>m_0</math> est la masse au repos ou masse propre de la particule et <math>m_r</math> sa masse relativiste en mouvement à la vitesse v. En combinant les deux relations précédentes, on obtient la fréquence ν, qui s'écrit selon de Broglie (p 35 de sa thèse [http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/en/ Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta], numérotation en haut de page) :

:<math>\nu=  \frac{m_0 c^2}{ h\ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }  </math>
 
La fréquence ν, très élevée, de l’ordre de <math>10^{29} Hz</math> pour un électron, correspond aux rayons gamma les plus durs. Elle ne semble pas mesurable directement, par exemple à l'aide d'un fréquencemètre. La formule est valable dans n’importe quel référentiel, en particulier dans le référentiel propre de la particule matérielle, où <math>\scriptstyle{E_0 = h\nu_0 = m_0c^2 .\ \nu_0}</math> est la fréquence propre, une fréquence de coupure en dessous de laquelle celle de la particule ne peut descendre. Au repos, l'énergie et la masse sont aussi minimales. Comme h et c sont des constantes universelles, la fréquence est différente dans le référentiel propre de la particule et dans celui de l’observateur, dans les mêmes proportions que la masse ou l'énergie. Cette fréquence varie peu avec la vitesse lorsqu’elle est faible, mais tend vers l’infini lorsque la vitesse de la particule matérielle approche celle de la lumière :
 
:<math>\nu=  \frac{\nu_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \gamma\nu_0  </math>

où γ est le facteur de Lorentz. On remarquera que la fréquence d’une particule augmente dans le même rapport que le temps t de l'observateur au temps propre <math>t_0</math>selon la transformation de Lorentz:
:<math>t=  \frac{t_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }</math>

alors qu’à première vue, ce devrait être l’inverse, le temps étant l'inverse d'une fréquence ! 

Les théories des quanta et de la relativité restreinte ont pour conséquence, lorsqu’on les conjugue, l’existence d’une vibration interne à toute particule matérielle de fréquence croissant avec sa vitesse selon la relation donnée plus haut.

==Hypothèse de conservation de la phase==
De Broglie fait l'hypothèse dite de "l'harmonie des phases"  (thèse, p 35 [http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/en/ Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta], numérotation en haut de page), où le "phénomène périodique" de fréquence ν’ dans le référentiel propre R’ de la particule est "constamment en phase avec une onde se propageant dans la même direction que le mobile". 

L’amplitude de ce phénomène périodique est, à un coefficient près, représenté par une "fonction sinusoïdale" avec une phase nulle au départ :

:<math>sin\left(2\pi \nu' t'\right)</math>
 
Dans le référentiel R du laboratoire, v est la vitesse de la particule, x son abscisse et t le temps de l’observateur, mesuré par une horloge du laboratoire. Appliquons la transformation de Lorentz du temps pour obtenir le temps propre t' à partir du temps t du laboratoire :

:<math>t'=\gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) </math>
 
En remplaçant t’ par cette expression, l’amplitude de l’onde s’écrit, en utilisant le temps t de l’observateur 

:<math>sin\left[2\pi\nu'\gamma\left(t - \frac{vx}{c^2} \right)\right]</math>

Or, selon la définition de la phase, l’amplitude d’une onde de vitesse de phase <math>v_\phi</math> s’écrit :
 
:<math>sin\left[2\pi\nu'\gamma\left(t - \frac{x}{v_\phi} \right)\right]</math>

Les deux expressions précédentes représentent le même phénomène dans le référentiel R’, on a en les identifiant :

:<math>v_\phi=\frac{c^2}{v}=\frac{c}{\beta} </math>

où <math>\beta= v/c</math> [http://www.davis-inc.com/physics/rendus-f.pdf Ondes et quanta, Ondes et quanta, C. R. Acad. Sci., 177, 1923, p. 517-519]. La vitesse c de la lumière est donc la moyenne géométrique des vitesses v de la particule et de phase <math>v_\phi</math> de l’onde associée. Comme la vitesse de la particule ne peut dépasser la vitesse de la lumière c, la vitesse de phase <math>v_\phi</math> lui est supérieure. Ce n’est pas contradictoire avec la relativité puisque la vitesse de phase correspond à la vitesse de transmission des zéros de l’onde où, l’amplitude étant nulle, il n’y a pas transmission d’énergie. Une vitesse de phase supérieure à celle de la lumière est bien connue dans les guides d’ondes. Chacun peut observer un phénomène analogue au bord de mer: une vague peut déferler le long d’une digue à une vitesse supérieure à sa vitesse propre perpendiculaire à la digue.

L’identification des mêmes formules donne aussi la fréquence ν dans le référentiel R de l’observateur :
  
:<math>\nu=  \frac{\nu'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \gamma\nu'  </math>

On retrouve, sans faire appel à la notion de masse relativiste, la formule du paragraphe précédent, avec un décalage vers le  « bleu » lorsque la vitesse v croît.

==Longueur d'onde de de Broglie==
La longueur d’onde étant le rapport de la vitesse de phase <math>\left.v_{\phi}\right.</math> 
à la fréquence ν, en utilisant maintenant 
:<math>E=\left.h\nu=mc^2 \right.</math>

on a
:<math>\lambda=  \frac{v_\phi}{\nu}=  \frac{c^2}{v\nu} = \frac{h}{mv}=  \frac{h\ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}{ m_0v}  </math>

En utilisant la quantité de mouvement p = mv, on obtient la relation relativiste de de Broglie :
:<math>  \mathbf{\lambda=\frac{h}{p}}</math>

Davisson et Germer ont fait diffracter des électrons par un réseau cristallin et vérifié la formule de de Broglie de la longueur d’onde associée à un électron. A chaque masse et chaque vitesse sont donc associées une fréquence ν, proportionnelle à la masse relativiste, et une longueur d’onde λ. Au repos, la vitesse étant nulle, la longueur d'onde est infinie et la fréquence, comme la masse, minimale. 

En résumé, de Broglie a émis l’hypothèse que la fréquence de vibration associée à une particule par la relation d’Einstein-Planck correspondait à une véritable onde ayant une vitesse de phase. La transformation de Lorentz donne la relation entre la vitesse de la particule et la vitesse de phase, dont la moyenne géométrique est la vitesse de la lumière. De Broglie a obtenu la longueur d'onde, rapport de la vitesse de phase à la fréquence. De Broglie n'a fait aucune hypothèse sur la nature de l'onde, encore inconnue, qui pourrait être gravitationnelle, électromagnétique ou autre. C'est, actuellement, l'hypothèse probabiliste de Born qui est retenue.

==Relation d'Heisenberg==


Comme on ne peut séparer en deux un photon unique, on obtient le chemin suivi dans l'expérience des fentes d'Young en plaçant un détecteur dans chacun des deux faisceaux, à la sortie de chaque trou. On constate que le photon se dirige aléatoirement dans chacune des voies. Le photon, s’il est détecté, est détruit ou, éventuellement, modifié avec son onde. L’interférence disparaît donc aussi. L'expérience du microscope d'Heisenberg consiste à observer un électron avec un microscope afin de déterminer sa position et sa vitesse. Pour observer l'électron, il faut l'éclairer avec de la lumière qui va interagir avec l'électron par effet Compton, le déplacer et lui conférer une vitesse supplémentaire, ce qui détruit l’interférence. 
Imaginons qu’on ait mesuré la quantité de mouvement p = mv d’un électron, par exemple par sa tension d’accélération. Pour obtenir sa position, nous allons le photographier, ce qui nécessite de l’éclairer avec un photon de longueur d’onde

<math>\lambda = \frac {h}{p}</math>

selon la relation de de Broglie. 

Considérons maintenant un microscope optique dont le pouvoir séparateur est donné par la formule d'Airy et ne peut être inférieur à la limite de Rayleigh ou du quart de longueur d'onde.
La précision sur la position x est donc :
:<math>\Delta x > \frac {\lambda}{4} = \frac {h}{4p}</math>

soit
:<math>\Delta x \ p> \frac {h}{4p}</math>

ce qui est pratiquement la relation d’Heisenberg (Berkeley physique quantique, armand colin, 1967, p 224) :

:<math>\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>

=Équations des ondes de matière=
==Équation des ondes de de Broglie==
Considérons l’équation de propagation (équation de d’Alembert) des ondes de vitesse de phase <math>\left.v_\phi \right.</math>

<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{v_\phi^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0</math>

où Ψ(x, t) est l’amplitude de l’onde, appelée aussi fonction d’onde de probabilité. On a vu que la vitesse c de la lumière est la moyenne géométrique des vitesses de phase <math>v_\phi </math> des ondes de de Broglie et de la vitesse v de la particule selon la relation :

<math>\left.v_\phi v = c^2\right.</math>

On peut donc écrire l’équation des ondes de matière sous la forme

<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{v^2}{c^4}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0</math>

==Équation de Klein-Gordon==
L’équation des ondes de de Broglie peut aussi s’écrire, en mettant à droite la vitesse de la particule :

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}(1-\frac{v^2}{c^2})\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>

En utilisant la relation de Planck-Einstein

:<math>  \frac{m_0 c^2}{\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=h\nu  </math>

la vitesse disparaît et l’équation des ondes de de Broglie devient

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}  = -\frac{m_0^2 c^2}{h^2\nu^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>

Pour des ondes quasi-monochromatiques et quasi-stationaires, la fonction d’onde est sinusoïdale en fonction du temps : 

Ψ(x, t) = φ(x) sin(ωt)

où la pulsation ω = 2πν, varie avec la vitesse v selon la relation :
:<math>\omega=  \frac{\omega_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \gamma\omega_0  </math>

Sa dérivée partielle seconde par rapport à t est :

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi</math>

En utilisant cette expression dans le second membre seulement de l’équation des ondes de de Broglie, la fréquence angulaire ou pulsation variable <math>\left. \omega \right.</math> disparaît mais il reste la fréquence <math>\left.\omega_0\right.</math> de la particule au repos :

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}  = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi = \omega_0^2\Psi</math>

Pour un photon, de masse au repos <math>m_0</math> nulle, on retrouve l’équation classique des ondes lumineuses, le second membre étant nul. C'est l'équation de Klein-Gordon en quatre dimensions.
La constante 

:<math>R_C=\frac{\lambda_C}{2\pi}</math>

est le rayon de Compton et <math>\lambda_C</math>  la longueur d'onde de Compton de la particule. Lorsque <math>m_0</math> est la masse <math>m_e</math> de l’électron, on trouve un rayon de Compton de l’électron de l’ordre du centième de celui de Bohr mais cent fois son rayon classique. 

Le d'alembertien (symbole ⟡) est la généralisation à quatre dimensions du laplacien, donc avec le même signe que le laplacien au lieu, parfois, du signe opposé. Son écriture explicite en utilisant la variable w=ict est, en quatre dimensions où le temps est une pseudo-dimension spatiale:

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial w^2}  = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi</math>

On peut encore l'écrire, en utilisant le laplacien <math>\Delta</math> :

:<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{\omega_0}{c}\right)^2\Psi</math>

Le d'alembertien est invariant dans la transformation de Lorentz et le second membre se transformant comme un champ scalaire, l’équation de Klein-Gordon est invariante dans la transformation de Lorentz, donc relativiste. Elle a été découverte par de Broglie en 1925 (Sur la fréquence propre de l'électron, C. R. Acad. Sci., 180, 1925, p. 498-500.), mais avec, au second membre, un signe moins.

Schrödinger en a fait l’approximation non relativiste et stationnaire, plus facile à résoudre, qui porte son nom.

==Équation de Schrödinger indépendante du temps==

Reprenons l'équation de Klein-Gordon :

<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{\omega_0}{c}\right)^2\Psi</math>

Lorsque les ondes sont vraîment stationnaires et monochromatiques, la fonction d’onde est le produit de deux fonctions sinusoïdales, l’une des coordonnées, l’autre du temps : 

Ψ(x, t)=φ(x)sin(ωt). 

d'où :

<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi</math>

L'équation de Klein-Gordon devient :

<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left(\omega^2 - \omega_0^2\right)\Psi=0</math>

Au lieu des pulsations, utilisons les masses en mouvement et au repos. Avec la relation de Planck-Einstein :

<math>\left.E = \hbar\omega = mc^2\right.</math> 

on a :

<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left[\left(\frac{2\pi m c^2}{h}\right)^2 - \left(\frac{2\pi m_0 c^2}{h}\right)^2\right]\Psi=0</math>

ou

<math> \Delta \Psi-\left(\frac{2\pi c}{h}\right)^2\left(m - m_0\right)\left(m + m_0\right)\Psi=0</math>

Or l'énergie cinétique relativiste est

<math>T= E-V=(m - m_0)c^2</math>

où E est l'énergie totale mécanique et V l'énergie potentielle. Dans l'hypothèse des vitesses petites devant celle de la lumière, on a :

<math>m + m_0\simeq 2m \qquad et \qquad   m - m_0\simeq \frac {E - V}{c^2}</math>

L'équation des ondes stationnaires devient alors l'équation de Schrödinger indépendante du temps

<math> \frac{h^2}{8\pi^2m}\Delta\Psi+\left(E-V\right)\Psi=0</math>
 
Les calculs précédents montrent que l’équation de Schrödinger n’est pas un postulat mais une approximation non relativiste et stationnaire de l’équation de d'Alembert appliquée aux ondes de de Broglie définies par λ = h/p.

N.B. Il s'agit ici de l'équation stationnaire ou indépendante du temps et non l'équation de Schrödinger d'évolution qui "ne se démontre pas", simplement parce que sa "démonstration" qu'on trouve parfois dans certains ouvrages, est fausse.

==Équation de Schrödinger dépendant du temps==

L’équation de Schrödinger dépendant du temps est appelée aussi équation de Schrödinger de seconde espèce ou d’évolution car elle n’est pas stationnaire. Elle servirait à étudier les phénomènes transitoires comme les transitions optiques. 

L’équation de Schrödinger dépendant du temps en trois dimensions d’espace, sous sa forme "moderne" est considérée, au même titre que la loi fondamentale de la dynamique, comme un postulat car elle ne se démontre pas:
   
<math>
i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}{\Delta}\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})
</math>

où <math>\Delta\,</math> est le laplacien.