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La longueur d'onde et la quantité de mouvement d'une particule dans un même référentiel sont reliées par l'équation :
:<tex>\lambda = \frac{h}{p} = \frac {h}{{m}{v}} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</tex>
<br>où :
<br><tex>\lambda</tex> est la longueur d'onde de la particule à une vitesse donnée dans un référentiel donné,
<br><tex>h</tex> est la constante de Planck, ou quantum d'action, 6,6260755 . 10<sup>-34</sup> joule.seconde/cycle = 1,05457267 . 10<sup>-34</sup> joule.seconde/radian,
<br><tex>p</tex> est la quantité de mouvement de la particule dans ce même référentiel,
<br><tex>m</tex> est la masse au repos de la particule,
<br><tex>v</tex> est la vitesse de la particule, toujours dans le même référentiel,
<br>et le produit <tex>\lambda.m.v</tex>, à basse vitesse, est alors égal à l'action par cycle de la particule, gagnée ou perdue par la particule au cours d'un mouvement.

Plus l'énergie est grande, plus la fréquence est grande. Plus l'impulsion est grande, plus petite la longueur d'onde.

Les objets les plus gros dont ait pu expérimentalement prouver le caractère ondulatoire sont des fullérènes C<sub>60</sub>, et des molécules d'insuline, à ce jour. Selon l'hypothèse de Broglie, le caractère ondulatoire des objets massifs macroscopiques n'est pas mesurable.

Les longueurs d'ondes d'objets microscopiques comme l'électron sont de l'ordre de grandeur de la taille des atomes pour les électrons lents (quelques volts). Dans les microscopes électroniques (10 kV), on arrive tout de même à les faire [[Diffraction de l'électron|diffracter]] par des cristaux grâce aux faibles angles d'incidence.



==Démonstration==
Dans sa thèse (p 33 et suivantes [http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/en/ Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta], numérotation en haut de page), de Broglie utilise les hypothèses suivantes :

1) "Relation du quantum" <tex>E =h\ \nu</tex> : entraîne l'existence d'une périodicité, sans qu'on puisse encore présumer quoi au juste est ainsi pulsatoire ou cyclique.

2) "Harmonie des phases" : donne la relation de dispersion <tex>vv_\phi=c^2 </tex>  grâce à la transformation de Lorentz.

3) Relation d'Einstein <tex>E=mc^2</tex> : combinée à celle du quantum et de l'harmonie des phases, donne la longueur d'onde, rapport de la vitesse de phase à la fréquence.

===Hypothèse de conservation de la phase===
La "relation du quantum" <tex>E =h\ \nu</tex> implique l'existence d'une fréquence interne ν associée à chaque particule, matérielle ou non, que ce soit un électron ou un photon. Ensuite, de Broglie fait l'hypothèse dite de "l'harmonie des phases" (thèse, p 35), où le "phénomène périodique" de fréquence ν’ dans le référentiel propre R’ de la particule est "constamment en phase avec une onde se propageant dans la même direction que le mobile".

L’amplitude ce phénomène périodique est, à un coefficient près, représentée par une "fonction sinusoïdale" avec une phase nulle au départ :

:<tex>sin(2\pi \nu' t')</tex>
 
Dans le [[Relativité restreinte |référentiel R du laboratoire]], v est la vitesse de la particule, x son abscisse et t le temps de l’observateur, mesuré par une horloge du laboratoire. Appliquons la transformation de Lorentz du temps pour obtenir le temps propre t' à partir du temps t du laboratoire :

:<tex>t'=\gamma(t - \frac{vx}{c^2}) </tex>
 
En remplaçant t’ par cette expression, l’amplitude de l’onde s’écrit, en utilisant le temps t de l’observateur

:<tex>sin[2\pi\nu'\gamma(t - \frac{vx}{c^2} )]</tex>

Or, selon la définition de la phase, l’amplitude d’une onde vitesse de phase <tex>v_\phi</tex> s’écrit :
 
:<tex>sin[2\pi\nu'\gamma(t - \frac{x}{v_\phi})]</tex>

Les deux expressions précédentes représentent le même phénomène dans le référentiel R’, on a en les identifiant :

:<tex>v_\phi=\frac{c^2}{v}=\frac{c}{\beta} </tex>

où <tex>\beta= v/c</tex> ([http://www.davis-inc.com/physics/rendus-f.pdf Ondes et quanta, C. R. Acad. Sci., 177, 1923, p. 517-519]).

La vitesse c de la lumière est donc la moyenne géométrique des vitesses v de la particule et de phase <tex>v_\phi</tex> de l’onde associée. Comme la vitesse v de la particule ne peut dépasser la vitesse c de la lumière, la vitesse de phase <tex>v_\phi</tex> lui est toujours supérieure. Elle est infinie pour une particule de vitesse nulle, en accord avec Newton pour qui la transmission des forces était instantanée. Ce n’est pas contradictoire avec la relativité non plus puisque la vitesse de phase correspond à la vitesse de transmission des zéros de l’onde où, l’amplitude étant nulle, il n’y a pas transmission d’énergie.  La vitesse de groupe étant celle du plus grand des maximums, la distance entre deux maximums successifs est variable et peu précise. On doit donc définir la longueur d’onde dans un paquet d’ondes par la distance entre deux noeuds consécutifs et non entre deux maximums alors que c'est sans importance pour une onde plane et sinusoïdale.  

Une vitesse de phase supérieure à celle de la lumière est bien connue dans les guides d’ondes. Une vague venue du large, perpendiculaire à la digue, déferle instantanément le long de la digue ou à une vitesse supérieure à sa vitesse propre. Un phénomène du même genre, observé dans le Cosmos, a pu faire croire à l’existence de vitesses « superluminales » dans des quasars et pulsars.

L’identification des mêmes formules donne aussi la fréquence ν dans le référentiel R de l’observateur :
 
:<tex>\nu=  \frac{\nu'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \gamma\nu'  </tex>
La variation de fréquence est négligeable aux vitesses faibles par rapport à celle de la lumière. Par contre la variation de phase ne l'est pas, même pour v << c.

===Longueur d'onde de Broglie===
Dans sa thèse, Louis de Broglie écrit : <br />
« On peut donc concevoir que par suite d’une grande loi de la Nature, à chaque morceau d’énergie de masse propre m, soit lié un phénomène périodique de fréquence <tex>\nu</tex> telle que l’on ait : <tex>h\nu = mc^2</tex>, <tex>\nu</tex> étant mesurée, bien entendu, dans le système lié au morceau d’énergie. Cette hypothèse est la base de notre système : elle vaut, comme toutes les hypothèses, ce que valent les conséquences qu’on en peut déduire. »  ([http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/70/78/PDF/tel-00006807.pdf thèse de 1924])
Plus loin dans son travail, il explique ce qui lui fait penser que ce ''phénomène périodique'' n'a pas lieu d'être considéré a priori comme confiné : il s'agirait donc d'une onde se propageant dans l'espace.

La masse m étant la masse au repos de la particule, pour être cohérent avec la définition donnée de la masse ci-dessus, on doit écrire
:<tex>E=\left.h\nu=\frac{mc^2}{\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}} \right.</tex>

L'hypothèse de l'harmonie des phases ayant conduit, au paragraphe précédent, à l'expression <tex>v_\phi v= c^2</tex> (cf p 35 de sa thèse, où il l'écrit V=c/β). La longueur d’onde étant le rapport de la vitesse de phase <tex>v_{\phi}</tex> à la fréquence ν, on a :
:<tex>\lambda=  \frac{v_\phi}{\nu}=  \frac{c^2}{v\nu}=  \frac{h\ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}{ mv}  </tex>

En utilisant la quantité de mouvement : <tex>p=\frac{mv}{\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}</tex>

on obtient la relation relativiste de Broglie : <tex>{\lambda=\frac{h}{p}}</tex>

Davisson et Germer ont fait diffracter des électrons par un réseau cristallin et vérifié la formule de Broglie de la longueur d’onde associée à des électrons monocinétiques.  

En résumé, Louis de Broglie a émis l’hypothèse que pour tout corps massif de masse m, il existe une fréquence intrinsèque <math>\nu</math> telle que <tex>h\nu = mc^2</tex>. Par la transformation de Lorentz, Broglie en a déduit que pour tout déplacement de cette particule à une vitesse v, se propage une onde dont la vitesse de groupe est égale à v, et la vitesse de phase vaut c²/v. La vitesse de la lumière est donc la moyenne géométrique de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe. Broglie a obtenu la longueur d'onde, quotient de la vitesse de phase par la fréquence. Broglie n'a fait aucune hypothèse sur la nature de l'onde, encore inconnue, qui ''pourrait être gravitationnelle, électromagnétique'' ou autre. Actuellement, c'est l'hypothèse probabiliste de Born qui est retenue par la grande majorité des enseignants, lesquels cachent à leurs étudiants la [[Fréquence intrinsèque inobservable, donc impensable ?|fréquence intrinsèque de Broglie]], ainsi que le caractère oscillatoire et périodique de tout quanton. Non seulement ils le cachent à leurs étudiants, mais ils sont dressés à se le cacher à eux-mêmes ; nous retrouvons là la même structure pathologique collective que dans les '''secrets de famille''' : On ne sait plus bien quoi doit rester secret, mais on sait qu'il faut éviter toute question et contourner les zones inavouables comme on a vu papa et maman le faire avant vous.<br>
Convaincus que cette majorité se trompe, la minorité qui a fondé ce site, penche vers une hypothèse spinorielle : "''ce qui oscille ainsi''" a un lien intrinsèque très fort avec le spin de la particule, mais nous n'avons pas encore été capables de l'expliciter. Si ce n'a pas les propriétés de rotation macroscopique, à la façon des modèles orbitaux des débuts préquantiques, ça en a des propriétés précurseures, qui n'appartiennent qu'à l'échelon du spineur.

Il existe d'autres démonstrations possibles de l'onde de Broglie, comme à partir des principes de Fermat et Maupertuis ou tout simplement en généralisant la formule donnant la longueur d'onde du photon :
:<tex>\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{c}{\frac{mc^2}{h}}=\frac{h}{mc}</tex>
où on remplace la vitesse c de la lumière par la vitesse v de la particule pour obtenir λ=h/mv, mais ce n'est qu'une analogie.

==Voir aussi==
[[Equation de Schrödinger]]

[[Calcul diffusion Compton et Zitterbewegung]] : La fréquence spatiale qui détermine la diffusion Compton selon les conditions de Bragg, est celle de Dirac-Schrödinger, ou électromagnétique, soit le double de la fréquence broglienne.

[[Lien entre masse et fréquence broglienne]]

[[Quantique, un démêlage linguistique préalable]]

[[Interprétation transactionnelle]]