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==Équation des ondes de de Broglie==
Considérons l’équation de propagation (équation de d’Alembert) des ondes d’amplitude Ψ(x, t) et de vitesse de phase <tex>\left.v_\phi \right.</tex>

<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{v_\phi^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0</tex>

Cette équation ne serait pas relativiste puisque <tex>v_\phi \ne c </tex>, vitesse de la lumière; elle n’est conservée ni dans la transformation de Lorentz ni dans celle de Galilée. On a vu que la vitesse c de la lumière est la moyenne géométrique des vitesses de phase <tex>v_\phi </tex> des ondes de de Broglie et de la vitesse v de la particule selon la relation :

<tex>\left.v_\phi v = c^2\right.</tex>

On peut donc écrire l’équation des ondes de matière sous la forme

<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{v^2}{c^4}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0</tex>

==Équation de Klein-Gordon==
L’équation des ondes de de Broglie peut aussi s’écrire, en mettant à droite la vitesse de la particule :

:<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}(1-\frac{v^2}{c^2})\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</tex>

En utilisant la relation de Planck-Einstein :

:<tex>  \frac{m_0 c^2}{\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=h\nu  </tex>

la vitesse disparaît et l’équation des ondes de de Broglie devient

:<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}  = -\left(\frac{m_0c }{h\nu}\right)^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</tex>

Pour des ondes quasi-monochromatiques et quasi-stationaires, la fonction d’onde est sinusoïdale en fonction du temps : 

Ψ(x, t) = φ(x) sin(ωt)

où la pulsation ω = 2πν, varie avec la vitesse v selon la relation :
:<tex>\omega=  \frac{\omega_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \gamma\omega_0  </tex>

Sa dérivée partielle seconde par rapport à t est :

:<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi</tex>

En utilisant cette expression dans le second membre seulement de l’équation des ondes de de Broglie, la fréquence angulaire ou pulsation variable <tex>\left. \omega \right.</tex> disparaît mais il reste la fréquence <tex>\left.\omega_0\right.</tex> de la particule au repos :

:<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}  = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi</tex>

Pour un photon, de masse au repos <tex>m_0</tex> nulle, on retrouve l’équation classique des ondes lumineuses, le second membre étant nul. 

La constante 

:<tex>R_C=\frac{\lambda_C}{2\pi} = \frac{\hbar}{m_0 c}</tex>

est le rayon de Compton et <tex>\lambda_C</tex>  la longueur d'onde de Compton de la particule. Lorsque <tex>m_0</tex> est la masse <tex>m_e</tex> de l’électron, on trouve un rayon de Compton de l’électron de l’ordre du centième de celui de Bohr mais cent fois son électron | rayon classique. 

L'écriture explicite, en quatre dimensions où le temps est une pseudo-dimension spatiale, du d'alembertien en utilisant la variable w=ict est :

:<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial w^2}  = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi</tex>

On peut encore l'écrire, en utilisant le laplacien <tex>\Delta</tex> :

:<tex> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \frac{\Psi}{R_C^2}</tex>

Le d'alembertien est invariant dans la transformation de Lorentz et le second membre se transformant comme un champ scalaire, l’équation de Klein-Gordon est invariante dans la transformation de Lorentz, donc relativiste. Elle a été découverte par de Broglie (Sur la fréquence propre de l'électron, C. R. Acad. Sci., 180, 1925, p. 498-500), mais avec, au second membre, un signe moins.

Schrödinger en a fait l’approximation non relativiste et stationnaire, plus facile à résoudre, qui porte son nom.

==Équation de Schrödinger indépendante du temps==

Reprenons l'équation de Klein-Gordon :

<tex> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{\omega_0}{c}\right)^2\Psi</tex>

Lorsque les ondes sont vraîment stationnaires et monochromatiques, la fonction d’onde est le produit de deux fonctions sinusoïdales, l’une des coordonnées, l’autre du temps : 

Ψ(x, t)=φ(x)sin(ωt). 

d'où :

<tex> \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi</tex>

L'équation de Klein-Gordon devient :

<tex> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left(\omega^2 - \omega_0^2\right)\Psi=0</tex>

Au lieu des pulsations, utilisons les masses en mouvement et au repos. Avec la relation de Planck-Einstein :

<tex>\left.E = \hbar\omega = mc^2\right.</tex> 

on a :

<tex> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left[\left(\frac{2\pi m c^2}{h}\right)^2 - \left(\frac{2\pi m_0 c^2}{h}\right)^2\right]\Psi=0</tex>

ou

<tex> \Delta \Psi-\left(\frac{2\pi c}{h}\right)^2\left(m - m_0\right)\left(m + m_0\right)\Psi=0</tex>

Or l'énergie cinétique relativiste est

<tex>T= E-V=(m - m_0)c^2</tex>

où E est l'énergie totale mécanique et V l'énergie potentielle. Dans l'hypothèse des vitesses petites devant celle de la lumière, on a :

<tex>m + m_0\simeq 2m \qquad et \qquad   m - m_0\simeq \frac {E - V}{c^2}</tex>

L'équation des ondes stationnaires devient alors l'équation de Schrödinger indépendante du temps

<tex> \frac{h^2}{8\pi^2m}\Delta\Psi+\left(E-V\right)\Psi=0</tex>
 
Les calculs précédents montrent que l’équation de Schrödinger n’est pas un postulat mais une approximation non relativiste et stationnaire de l’équation de d'Alembert appliquée aux ondes de de Broglie définies par λ = h/p. Même non-relativiste, elle a son origine dans la transformation de Lorentz.