Geom_Syntax_Gyr - User contributions [en]

Vecteurs, définition, propriétés

2016-10-30T11:53:44Z

Jacques Lavau:

Prérequis : [[Les grandeurs physiques]]

= Un vecteur, comme son nom l'indique, c'est pour les translations =
'''Un vecteur, comme son nom l'indique, c'est pour les translations''', et et c'est pour tout ce qui se déduit directement des translations, en physique : vitesse, accélération, quantité de mouvement, force, champ électrique, dipôle électrostatique, vitesse de diffusion ionique. Aller d'un départ vers une destination.

== Comme son nom l'indique ? ==

La racine ''vagh'', en indo-européen, désignait le chariot. Elle a donné des centaines de descendants, dont plusieurs dizaines en français.

Rappel de vocabulaire : Le mot "''vector''" était déjà pris depuis plus de 42 siècles, avant d'être réutilisé en 1837 par W. R. Hamilton (1805 - 1865), à l'usage des mathématiciens et des physiciens. Dans le dictionnaire de latin, on trouve une famille de plus de 100 termes autour du verbe "''vehere''", des noms "''vector''" (au sens de chariot, puis d'animal bâté ou de trait, de cavalier ou de passager d'un navire), et "''veha''" (voie). En français, nous avons gardé : véhicule, voie, voyer, dévier, convecteur, vexer, convexe, vétérinaire. La famille est également riche dans les langues germaniques : Weg, thalweg, Norvège, Solveig, tramway, wagon, vaguemestre... On la retrouve aussi dans les langues slaves.

Depuis des millénaires, nous rencontrons l'usage littéral : est ''vecteur'' ce qui véhicule quelque chose. Une flèche incendiaire tirée depuis un arc à corde très lâche, fut un vecteur de combustion, capable de provoquer un incendie dans les fortifications en bois de l'adversaire. Au 18e siècle, les colporteurs furent les vecteurs des pamphlets révolutionnaires. Certaines fusées sont des vecteurs nucléaires. Le moustique est le vecteur de la fièvre jaune et du paludisme.

En second et depuis 1837, nous rencontrons sa mathématisation immédiate (mais correcte), pour les besoins de la physique macroscopique : '''est vecteur ce qui caractérise une translation'''. Ce cahier des charges est rempli par la définition de Bellavitis : les vecteurs comme classes d'équivalences des bipoints par la relation d'équipollence. La sémantique précédente est donc conservée, dans ses grandes lignes, mais connaît une schématisation. Du point de vue mathématique, et dans le langage axiomatique que nous devons aux écoles de Klein et de Hilbert, nous avons besoin des axiomes des espaces vectoriels, plus une métrique, plus le moyen de définir une translation. Ce qui implique que l'espace en question soit au moins approximable localement par un espace affine pseudo-euclidien tangent. Du point de vue pratique, cela signifie que l'on peut valablement dessiner, et se servir de ses mains, d'une règle, d'un compas, d'une équerre, ou de ses pas, ou de ses outils d'atelier, pour se guider dans les raisonnements.

Par extension légitime, est aussi considéré comme vecteur, tout ce qui dérive du vecteur de translation, par une dérivation ou intégration selon une variable qui n'est pas d'espace (le temps, notamment), ou par multiplication par une grandeur, dont la dimension physique ne comprend aucune longueur, à quelque puissance que ce soit.

== Définition : de la translation, à la classe d'équipollence des bipoints ==

Le cahier des charges est de caractériser l'opérateur de translation. La définition formelle répondant à ces réquisitions, définit le vecteur comme classe d'équivalence de bipoints, par la relation d'équipollence. Cette définition n'est pas la définition minimaliste des espaces vectoriels abstraits. Mais c'est la plus petite qui couvre toutes les propriétés géométriques réellement utilisées par la physique élémentaire macroscopique.

Nos nombres entiers, si familiers, sont aussi des classes d'équivalence : 2 n'est pas une paire de vaches, ni une paire de cailloux, mais est ce qu'il y a de commun à une paire de vaches, une paire de cailloux, une paire de claques, etc. par la relation : {il existe une bijection entre ces deux collections}.

Dans un espace E, comme notre espace ordinaire de la géométrie, les bipoints servent à résumer un déplacement, avec un point de départ, et un point d'arrivée.

Un bipoint : c'est un couple de points, respectivement le premier, ou point de départ, et le second, ou point d'arrivée. On le note (A,B). Les extrémités d'intervalles finis sur une droite, forment de tels bipoints.

=== Mettre deux bipoints bout à bout ===

On peut définir une addition : si le départ du second, est exactement l'arrivée du premier,

(A,C) = (A,B) + (B,C). [[Image:Adbipoints.gif‎]]

Exemple : se rendre de Paris à Lyon, puis de Lyon à Marseille, revient à se rendre de Paris à Marseille. Puisqu'on ne s'intéresse qu'au point de départ, et au point d'arrivée.

C'est la relation de Chasles.

On ne sait pas multiplier un bipoint par une constante. Mathématiquement, autant dire qu'on ne sait presque rien faire avec des bipoints.

=== Si le parallélisme existe, on peut définir l'équipollence de deux bipoints ===

Ajoutons l'hypothèse que dans notre espace E, le postulat d'Euclide soit vérifié : la parallèle d'une droite passant par un point, existe, et est unique. Dans ce cas, les parallélogrammes existent.

[[Image:Equipollence.gif]]

Définition : Les bipoints (D,E) et (D',E') sont dits équipollents si le quadrilatère DEE'D' est un parallélogramme. 
C'est une relation réflexive, réciproque et transitive : une relation d'équivalence.

'''Définition : un vecteur est la classe d'équivalence de bipoints, par la relation d'équipollence.'''
Un vecteur peut prendre une infinité de bipoints comme représentants de la classe.

De l'addition des bipoints, on déduit l'addition des vecteurs : pour tous points A, B, et C, <math>\vec {AC}</math> = <math>\vec {AB}</math> + <math>\vec {BC}</math>. 
Sauf que cette fois, c'est la classe d'équipollence représentée par le bipoint (A,C), qui est bien la somme de la classe d'équipollence représentée par le bipoint (A,B) et de la classe d'équipollence représentée par le bipoint (B,C), et on est libres de choisir d'autres représentants, les représentants qui nous sont les plus commodes.

Dans un espace euclidien, et grâce aux parallélogrammes, on peut transporter les extrémités d'un bipoint, les éléments caractérisant une translation. Plus tard, pour parler d'orthogonalité, nous aurons besoin de choisir une norme euclidienne parmi toutes celles possibles. En effet, les expériences de mesures courantes dans notre espace humain sont compatibles avec le postulat d'Euclide, et avec le postulat qu'il existe bien une orthogonalité. Tant que les vitesses des objets dans le laboratoire sont faibles devant celle de la lumière, la longueur d'un objet ne dépend pas de son orientation dans l'espace, sous réserve qu'il soit mécaniquement indéformable. Sous réserve aussi que les trajets de la lumière dans le vide soient représentatifs de l'idée que nous nous faisons de la ligne droite, ce qui est bien réalisé à la surface de la Terre, astre modeste, à la gravité modeste.

De cette définition, il résulte qu'on peut additionner entre eux les vecteurs de même nature, les multiplier par un nombre, et par une grandeur physique non géométrique. Et par une grandeur géométrique, telle qu'un autre vecteur ? Là c'est un chapitre ultérieur de la géométrie, ou analyse tensorielle, dans laquelle ces vecteurs que nous venons de définir, sont inclus comme tenseurs d'ordre 1.

== Quatre projections pour la physique ==

=== Projections quelconques ===
Puisque nous savons faire la somme et la différence de deux vecteurs, nous savons projeter sur un sous-espace, parallèlement à un sous-espace complémentaire. 
Ces projections sont indispensables en cristallographie : projeter parallèlement aux autres axes cristallographiques du cristal, qui ont rarement la gentillesse d'être orthogonaux entre eux.

[[Image:Projection.gif]]

=== Projections orthogonales, intérieure et extérieure ===

Le choix le plus simple, physiquement le plus fécond, est de prendre la direction perpendiculaire.

Prenons désormais le choix de projection orthogonale à D. La décomposition de <math>\vec V</math> est alors unique :

<math>\vec V</math> = <math>\vec V_{//}</math> + <math>\vec V_{\rotatebox{180}T}</math>.

On désigne le restant de l'opération projection, <math>\vec V_{\rotatebox{180}T}</math>, la projection extérieure de <math>\vec V</math> sur D.

<math>\vec V_{//}</math> est la projection intérieure.
[[Image:Proj_orthogonales.gif]]

D'où il viendra la définition sommaire du produit intérieur : produit d'un vecteur, par la projection intérieure de l'autre.

Et la définition sommaire du produit extérieur : produit d'un vecteur, par la projection extérieure de l'autre.

Ceci est indispensable à la physique. On l'étend facilement aux tenseurs d'ordre supérieur.

Avec un plan P et un vecteur, on définit de la même façon, la projection intérieure sur ce plan : <math>\vec V_{//}</math>, et la projection extérieure au plan : <math>\vec V_{\rotatebox{180}T}</math>, qui est orthogonale à tout vecteur de P.

En considérant les covecteurs inverses (sur un espace métrique), on définit de même les projections anti-intérieure, et anti-extérieure.

= Coordonnées d'un vecteur. =

== Repère ==

On ne peut décrire une position d'un point que par rapport à un repère.

[[Image:Repere.gif]]

Un repère cartésien (le plus utilisé) se compose d'une origine, d'exactement autant de directions d'axes qu'il en faut (par exemple 2 en géométrie plane, 3 en géométrie dans l'espace), et du même nombre de vecteurs unitaires sur chaque axe.

Unitaire, signifiant qu'il est de longueur unité.

On se simplifie beaucoup la vie, quand on peut choisir des axes orthogonaux entre eux, et ayant la même unité de longueur sur chaque axe. On appelle un tel repère, un repère orthonormé.

Dans la géométrie courante, on peut faire ce choix d'orthonormalité, et on le fait systématiquement. Si notre métier s'occupait de cristaux (cristaux métalliques, comme dans tous les métaux et alliages, ou cristaux minéraux, comme dans le mica, ou le quartz), parfois nous pourrions prendre un repère orthonormé dans le cristal (cas du cuivre, de l'aluminium), et d'autres fois, ce choix serait désastreux (cas du mica, du quartz, du magnésium, du zinc, du titane, etc...). Les cristallographes (ceux dont le métier s'occupe de cristaux, par exemple pour étudier des piézoélectriques, des ferromagnétiques, des supraconducteurs) préfèrent de loin prendre un repère qui épouse les directions et unités du cristal. Il leur a donc fallu apprendre un peu plus de géométrie, et d'algèbre linéaire, pour rester capables de calculer juste, à partir de repères non orthogonaux, et dont les unités selon les axes ne sont pas nécessairement égales. Même problème en mécanique des élastomères : un repère lié à la matière au repos, n'est plus orthonormé, ni même euclidien, quand la matière est déformée.

Avoir choisi un repère, permet de privilégier une certaine sorte de projection : la projection sur les axes de coordonnées. Il est possible de projeter tout vecteur <math>\vec V</math> sur les axes du repère. Si on nomme <math>\vec O_x</math> <math>\vec O_y</math>, <math>\vec O_z</math> les axes de ce repère, on pourrait nommer
<math>\vec V_x</math>, <math>\vec V_y</math> et <math>\vec V_z</math> les trois projections de <math>\vec V</math> sur ces trois axes. La règle du jeu à respecter, est que la projection se fasse parallèlement aux autres axes du repère. Si l'on est dans le plan, cela se réduit à : parallèlement à l'autre axe du repère. Tout vecteur se décompose ainsi de façon unique comme somme de deux (dans le plan) ou trois vecteurs, chacun parallèle à un axe de coordonnées.

== Bases et coordonnées ==

La liste des vecteurs unitaires, énoncée dans un ordre fixe, est aussi appelée une base de l'espace E. Nous pouvons nommer distinctement les vecteurs de base, par exemple <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>. Nous pouvons aussi leur donner un numéro, dit indice. Ils seront alors appelés e1, e2, e3. Les débutants préfèrent la première façon de nommer les vecteurs de base. Les professionnels préfèrent (de beaucoup) la seconde façon.

Il est possible de projeter tout vecteur <math>\vec V</math> sur les axes du repère.

Si on nomme <math>\vec O_x</math> <math>\vec O_y</math>, <math>\vec O_z</math> les axes de ce repère, on peut nommer
<math>\vec V_x</math>, <math>\vec V_y</math> et <math>\vec V_z</math> les trois projections ou '''composantes''' de <math>\vec V</math> sur ces trois axes : <math>\vec V</math> = <math>\vec V_x</math> + <math>\vec V_y</math> + <math>\vec V_z</math>.

On peut rapporter chaque projection (ou composante), au vecteur unitaire de cet axe. Soient Vx, Vy, Vz, les trois quotients : 
<math>\vec V_x</math> = Vx. <math>\vec j</math> 
<math>\vec V_u</math> = Vy. <math>\vec k</math> 
<math>\vec V_z</math> = Vz. <math>\vec l</math> 

Tout vecteur de l'espace E est décomposable sur la base, d'une seule façon, que voici :

<math>\vec V</math> = Vj <math>\vec j</math> + Vk <math>\vec k</math> + Vl <math>\vec l</math> = V1 e1 + V2 e2 +V3 e3 .

Les nombres Vj , Vk, Vl (ou V1 , V2 , V3 , puisque par définition, ce sont les mêmes) sont nommés '''coordonnées''' de <math>\vec V</math> '''sur cette base'''. Chaque coordonnée est un quotient de deux vecteurs colinéaires : quotient d'une composante sur un axe par le vecteur unité de cet axe. Un vecteur se distingue d'une grandeur physique ordinaire, scalable, en ce qu'il faut plusieurs quotients à la fois, pour le décrire.

Par opposition, on nomme "''scalaire''" une grandeur physique qui se contente d'une seule coordonnée, et qui ne dépend pas des orientations ni des unités du repère géométrique.

Si pendant quelque temps, on ne change jamais de base (repère et vecteurs unitaires), on économise en écritures, en se contentant de désigner un vecteur par seulement ses coordonnées dans cette base. On peut les écrire en ligne : (V1 , V2 , V3), ou en colonne : <math>\left(\large\begin{array}V_1\\V_2\\V_3\end{array}\right)</math>, à condition que le début de validité de la base définie, ait été clairement précisé avant.

=== Ce qu'il ne faut plus faire ===

Oublier de mentionner la base, son unité et ses propriétés, est une omission trop courante. Cette négligence serait mortelle pour un calcul en cristallographie : tout serait faux. D'autant plus dangereuse qu'elle est tacite et inconsciente depuis les origine de l'usage des vecteurs au 19e siècle, cette négligence a vite produit de grosses incompréhensions, qui durent, qui durent... Ainsi depuis le 19e siècle, on s'est souvent imaginé qu'un vecteur ne serait rien de plus qu'une suite ou liste de nombres, en oubliant de l'accompagner de la règle de transformation de cette suite, à chaque changement de base, et d'une unité physique.

=== Ce qu'on peut faire et qui est une innovation ===

Rien ne nous interdit de généraliser les coordonnées, prendre de vraies grandeurs physiques - cohérentes, quand même - au lieu de simples nombres. Ainsi un repère géométrique pour les positions peut servir à définir les coordonnées d'une quantité de mouvement : ses vecteurs de base sont en mètres, les coordonnées de la quantité de mouvement sur cette base, seront en kilogrammes divisés par seconde. La quantité de mouvement est bien en kilogramme.mètre/seconde.

== Addition de vecteurs par les coordonnées (sur la même base) ==
Aucune difficulté : on additionne les coordonnées homologues.

Soient les vecteurs <math>\vec V</math> et <math>\vec U</math>, de coordonnées <math>\left(\large\begin{array}V_1\\V_2\\V_3\end{array}\right)</math> et <math>\left(\large\begin{array}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right)</math> (coordonnées sur la même base !).

Le vecteur somme <math>\vec V</math> + <math>\vec U</math> a pour coordonnées : <math>\left(\large\begin{array}V_1 + U_1\\V_2 + U_2\\V_3 + U_3\end{array}\right)</math>.
 Même scénario pour la différence : différence des coordonnées.

== Changement d'origine ==
Changement d'origine, pour les vecteurs de repérage des points de l'espace. L'origine était O. Désormais on prend O'. On applique la règle d'addition des bipoints : 
<math>\vec {O'M} = \vec {OM} - \vec {OO'}</math>

== Multiplication par un nombre, ou une constante "scalaire". ==
On multiplie toutes les coordonnées par la constante.

= Symétries des vecteurs =

== Dimension 1 : Géométrie sur une droite ==

Symétrie par rapport à un point. Le vecteur est toujours retourné par cette symétrie.

== Dimension 2 : Géométrie sur un plan ==

Il ne peut y avoir que deux sortes de sous-espaces invariants par la symétrie : un point ou une droite. Le point est un sous-espace de dimension nulle. La droite est un sous-espace de dimension un.

=== Symétrie par rapport à un point. ===

[[Image:Symetrie-point.gif]]

Le vecteur est toujours retourné par cette symétrie.

Alors que les grandeurs de second échelon, telles que les angles orientés, sont conservées !

=== Symétries par rapport à une droite. ===

Deux cas simples se présentent : 
Le vecteur est parallèle à la droite invariante. Il est conservé.
[[Image:Symetrie-droite-parall.gif]] 
Le vecteur est perpendiculaire à la droite invariante. Il est retourné.
[[Image:Symetrie-droite-perpend.gif]] 

'''Cas général :'''

Vecteur ni perpendiculaire ni parallèle à la droite invariante. Alors la projection intérieure de V sur D est conservée, tandis que le restant, projection extérieure, est retourné.
[[Image:Symetrie-droite-qnque.gif]]

== Géométrie dans l'espace E3 (affine à '''R'''3). ==

Il ne peut y avoir que trois sortes de sous-espace invariant par la symétrie : un point, une droite, ou un plan. Le plan est un sous-espace de dimension deux.

=== Symétrie par rapport à un point. ===
Le vecteur est toujours retourné par cette symétrie.

=== Symétrie par rapport à une droite.===
Deux cas simples se présentent :

Le vecteur est parallèle à la droite invariante. Il est conservé.

Le vecteur est perpendiculaire à la droite invariante. Il est retourné.

Cas général : vecteur ni perpendiculaire ni parallèle à la droite invariante. Alors la projection intérieure de V sur D est conservée, tandis que le restant, projection extérieure, est retourné.

=== Symétrie par rapport à un plan. ===
Deux cas simples se présentent :

Le vecteur est parallèle au plan invariant. Il est conservé.

Le vecteur est perpendiculaire au plan invariant. Il est retourné.

Cas général : vecteur ni perpendiculaire ni parallèle au plan invariant. Alors la projection intérieure de V sur le plan P est conservée, tandis que le restant, projection extérieure, est retourné.

Les dessins se déduisent immédiatement des dessins valides en géométrie plane. Pas d'éléments vraiment nouveaux. La symétrie par rapport à un plan se dessine en projection sur un plan, identiquement à la symétrie par rapport à une droite, si l'on choisit de projeter sur le plan qui contient les vecteurs symétriques.

== Généralisation, en espace de dimension n. ==

La projection intérieure d'un vecteur sur un sous-espace invariant, est conservée. 
La projection extérieure d'un vecteur sur un sous-espace invariant, est retournée. 
Ça valait donc la peine de distinguer la projection extérieure de la projection intérieure.

== A quoi les symétries sont-elles utiles ? ==

Les symétries servent à ramener de nouveaux problèmes à des problèmes connus et déjà résolus. Elles servent à se simplifier la vie, à prouver que des coordonnées sont nulles, ou égales, sans longs calculs. Elles servent à prouver que des effets sont nuls. En 1894, '''Pierre Curie''' (1859 - 1906) a énoncé le principe : '''L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène.'''

Il existe de nombreuses autres sortes de symétries, que nous n'étudions pas ici.

== Si on change de vecteurs de base ? ==

Supposons que je communique le résultat de mes travaux, à un ami et collègue ingénieur, qui travaille aux Etats-Unis. Moi, j'ai travaillé en mètres, l'unité légale en France de nos jours. Mais lui travaille en yards, en pieds et en pouces. Ou plus simplement, je voudrais communiquer mes travaux à un physicien âgé, qui a utilisé toute sa vie le centimètre comme unité légale, utilisée par les physiciens du monde entier, de son temps.

Je lui parle d'un vecteur long de 2 mètres. Pour me comprendre, il va traduire cela comme un vecteur long de 200 cm. Traduisons cela en coordonnées :

<math>\vec V</math> = (2,0,0) m = (200,0,0) cm.

On remarque que quand l'unité est 100 fois plus grande, alors les coordonnées sont 100 fois plus petites. Autrement dit, les coordonnées naturelles sont contravariantes : elles varient au contraire de la base. C'est indispensable, pour que ces coordonnées soient bien descriptrices du même vecteur physique.

= Grandeurs vectorielles en physique =

La somme vectorielle, sous la forme d'addition de vitesses, ou d'addition de forces, était maîtrisée dès le 17e siècle, par certains physiciens (pas tous...). Malgré ce que nos manuels nous font croire, ni Laplace (1749 - 1827), ni Ampère (1775 - 1836) n'ont connu le mot "vecteur", inventé en 1837, ni les notations vectorielles.

== Unités de base de la physique ==

On peut rapporter toutes les unités de la physique, à un tout petit nombre d'unités de base, huit en tout :

# L'unité de longueur (mètre), qui ne suffirait pas à la géométrie, sans...
# le radian, quotient de deux longueurs perpendiculaires. Le radian est le grand oublié des physiciens. Sa généralisation comme quotient de deux grandeurs en quadrature de phase, n'a jamais été clarifiée. Nous reviendrons dans le chapitre suivant, consacré aux tourneurs, produits extérieurs de vecteurs.
# L'unité de temps (seconde),
# l'unité de masse (kilogramme),
# l'unité de charge électrique (coulomb).

On peut symboliser ces cinq unités de base par les cinq majuscules : L, R, T, M, Q.

Les trois autres, le kelvin, la candela, la mole, ne nous serviront pas ici.

Chaque unité physique particulière, s'exprime comme un monôme généralisé des unités de base. Monôme généralisé, signifie : expression ne comportant que des multiplications et divisions. Les multiplications ou divisions multiples, peuvent se résumer par une élévation à une puissance. Cette puissance peut être négative, pour désigner une division. Par exemple, l'unité de vitesse, le mètre par seconde, a pour monôme : [L . T-1].

Cet exposé est très classique. Nous verrons ultérieurement à quel point il est critiquable, et doit être révisé de fond en comble au regard de la mécanique symplectique, et du théorème de Noether.

== Quelles sont les grandeurs physiques qui sont vectorielles ? ==

{| border="3"
|+ Quelles sont les grandeurs physiques qui sont vectorielles ?
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Déplacement
| m
| [L]
|-----
| Vitesse
| m/s
| [L.T-1]
|-----
| Accélération
| m/s2
| [L.T-2]
|-----
| Impulsion (quantité de mouvement)
| kg . m/s
| [M.L.T-1]
|-----
| Force
| kg . m/s2
| [M.L.T-2]
|-----
| Champ électrique (<math>\vec E</math>)
| volt/mètre = newton/coulomb
| M.L.T-2 . Q-1]
|-----
| Moment dipolaire électrostatique
| C . m
| [L.Q]
|-----
| Elément de courant (C'est le I.dl figurant dans la loi de Laplace).
| A . m = C . m /s
| [L.T-1.Q]
|-----
| Potentiel magnétique (<math>\vec A</math>)
| unité d'impulsion/coulomb
| [M.L.T-1 . Q-1]
|-----
|}

Remarque : la grandeur "longueur" figure toujours une fois, à la puissance 1.

Les covecteurs sont les grandeurs de dimensions en [L-1...], qui ont les mêmes propriétés de symétrie que les vecteurs (mais qui en diffèrent évidemment par leurs propriétés dimensionnelles). Plusieurs gradients considérés en chimie (lois de diffusion moléculaire ou ionique), ou en mécanique des fluides et en météorologie, sont des covecteurs, inverses de vecteurs. Vecteurs et covecteurs, composent le premier échelon dans la famille des tenseurs.

Enfin des capacités vectorielles volumiques, telles que le vecteur déplacement de Maxwell <math>\vec D = \epsilon \vec E</math>, peuvent être de dimension physique nette -2 relativement à l'unité de longueur : [L-2...] : [L-2 . Q] = [L . L-3 . Q]. 

Suites : [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]
 [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Références et bibliographie ==
'''Syntaxe géométrique de la physique : projections et vrais vecteurs.''' http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/SYNTAXV1_.htm

Métrique des grandeurs vectorielles en physique

2016-10-30T11:51:28Z

Jacques Lavau:

Prérequis : 
[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 

= Module d'un vecteur. Contracté du produit intérieur, ou produit scalaire =

== Module d'un vecteur ==

=== Définition ===

Le "module" (ou "norme", ou "longueur" chez E. Cartan), généralise la longueur, pour toutes les sortes de vecteurs. Pour un vecteur de déplacement, dans l'espace euclidien de notre expérience courante, ce module est exactement la longueur du bipoint, mesurée avec un double-décimètre. 
Le module exprime ce qui est invariant envers l'orientation par rapport aux axes de coordonnées.
Plus généralement, le module satisfait aux trois axiomes des normes:

<math>\left\| \lambda \vec V \right\| = \left|\lambda\right\|. \left\| \vec V \right\| </math> pour tout <math>\lambda</math> réel (ce qui implique : <math>\left\| \vec 0 \right\|</math> = 0). 

<math>\left\| \vec {V_1} + \vec {V_2} \right\| \le \left\|\vec {V_1}\right\| + \left\| \vec {V_2} \right\| </math>, inégalité triangulaire. 

Ces deux premiers axiomes sont aussi remplis par les pseudo-normes, des espaces pseudo-euclidiens, tels
l'espace de Minkowski. L'axiome suivant est caractéristique des vraies normes :

<math>\left\| \vec V \right\| \gt 0 </math> pour tout vecteur non nul.

La physique exige de plus que l'expression analytique de ce module, donne un résultat intrinsèque
indépendant du choix des coordonnées, et des unités. Un résultat invariant, ni covariant, ni contravariant,'''INVARIANT'''. Le module d'un vecteur physique n'est donc pas un simple nombre, mais est une grandeur physique. Il a donc une unité physique, par exemple des mètres. Pendant très longtemps, les conséquences de cette exigence basique n'ont pas été perçues.

=== Calcul du module d'un vecteur ===

==== Calcul en dimension 1 : le long d'une droite. ====
Il nous suffit de savoir le module du vecteur unité, <math>\left\| \vec j \right\| </math>, car <math> \vec V </math> = v.<math> \vec j </math>, donc <math>\left\| \vec V \right\| = v . \left\| \vec j \right\|</math>. 
Si on change d'unité, par exemple en prenant 100 fois plus petit, la coordonnée v devient 100 fois plus grande, pour maintenir l'invariance de ce qui est représenté, envers le mode de représentation.

==== Calcul en dimension 2 : sur un plan. ====

'''Cas ultra-simplifié: le repère est orthonormal'''. 
Autrement dit <math>\left\| \vec j \right\| = \left\| \vec k \right\|</math>, et ces deux vecteurs sont perpendiculaires. 
On peut alors utiliser le théorème de Pythagore, sans précautions.
<math>\vec V = V_j \vec j + V_k \vec k</math> 

On exprime ces coordonnées en fonction de l'angle du vecteur V avec les axes, par son module multipliant les sinus et cosinus. Or l'exigence d'invariance du résultat envers ces angles avec le repère n'est satisfaisable que par la somme du carré du cosinus et du carré du sinus. Il en résulte au final que : 

<math>\left\| \vec V \right\| = v. \sqrt{cos^2 \theta + sin^2 \theta} . \left\| \vec j \right\| = v.\left\| \vec j \right\| = \sqrt{V_j^2 + V_k^2}.\left\| \vec j \right\|</math>

'''Cas moins simple: le repère est orthogonal.''' 
Les deux vecteurs <math>\vec j</math> et <math>\vec k</math> sont perpendiculaires, mais leurs modules ne sont pas égaux. 
Ce cas est courant sur les cartes de géographie, ou pour le repérage d'un avion en vol : les distances au sol sont en kilomètres, et l'altitude est en mètres. 
Résultat final : 
<math>\left\| \vec V \right\|^2 = V_j^2 .\left\| \vec j \right\|^2 + V_k^2 .\left\| \vec k \right\|^2</math>

'''Cas général en base quelconque ?''' 
Il faudra aussi tenir compte des angles entre eux des vecteurs de la base, donc construire explicitement le tenseur métrique de cette base. Nous y reviendrons.

==== Calcul en dimension 3 et plus : sur un l'espace ordinaire, l'espace-temps de Minkowski, etc. ====
Rien de nouveau : on ajoute un troisième terme en dimension 3, un quatrième terme en dimension 4, etc.

Par exemple en repère orthogonal, en dimension 3 :

<math>\left\| \vec V \right\|^2 \hspace{10}=\hspace{10} V_j^2 .\left\| \vec j \right\|^2 + V_k^2 .\left\| \vec k \right\|^2 + V_l^2 .\left\| \vec l \right\|^2</math>

== Le produit scalaire de deux vecteurs (produit intérieur, contracté). ==

=== Définition. ===

Pour tenir la route, la définition doit être donnée en grandeurs physiques, en non en coordonnées. En effet,
les coordonnées n'ont de signification qu'à partir des propriétés des vecteurs de base.

<math> \vec {V_1} . \vec {V_2} = \left\| \vec {V_1} \right\| . \left\| \vec {V_2} . cos(V_1; V_2)\right\|</math>
, où <math>\left\| \vec {V_1} \right\|</math> désigne la longueur, ou le module, du vecteur <math>\vec {V_1}</math> 

Cette définition est intrinsèque, et découle de la projection intérieure. 
Au temps où l'on confondait allègrement les grandeurs physiques avec les nombres, on prenait le "produit scalaire" pour un nombre, et c'était la source de confusions et de mésaventures sans fin. Evidemment, un nombre multiplié par le carré d'une longueur, n'est pas un nombre, mais une grandeur scalable, de dimension homogène à une aire.

=== Usages ===

En physique, le produit scalaire (produit intérieur, contracté), sert surtout à calculer le travail d'une force : 
force x déplacement x cosinus (force; déplacement).
Autrement dit, avant de multiplier la force par le déplacement, on commence par projeter l'un sur l'autre, et
la projection est orthogonale. C'est bien la '''projection intérieure''' qui est utilisée ici. Puis on prend le
produit des modules. 
En géométrie, le produit intérieur, contracté, sert à calculer des angles, et des longueurs. Il est donc à la base de toutes les relations métriques de la cristallographie.

=== Piège ===
Pour que le produit scalaire soit un nombre, un vrai nombre, il faut qu'un vecteur soit en mètres, et l'autre en m-1.
Autrement dit, seul le produit scalaire d'un vecteur par un covecteur (ou l'inverse, puisque ce produit est commutatif), peut donner un nombre.

=== Propriétés du produit scalaire (produit intérieur, contracté) ===

Elles découlent de la définition. 
Ce produit conserve évidemment la multiplication par un nombre: <math>\vec{V_1}. (\lambda \vec{V_2}) = \lambda.\vec{V_1}.\vec{V_2}.</math>

Il conserve aussi l'addition, donc la projection et la décomposition en projections sur les axes de
coordonnées. Cela se déduit de la linéarité de l'opérateur de projection: la projection sur un axe, de la
somme de deux vecteurs, est la somme des projections de ces vecteurs sur le même axe. On en conclut que
le produit scalaire est distributif sur les opérations de somme vectorielle, et de multiplication par un
nombre. 
La contraction '''brise l'associativité''', qui était conservée et par le produit tensoriel, et par la symétrisation. Le produit scalaire n'est pas associatif.

== Expression du produit scalaire avec les coordonnées. ==

Soient <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>, les trois vecteurs de base. Les longueurs j, k, l, sont les modules de ces vecteurs <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>. Les angles (<math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>), (<math>\vec l</math>, <math>\vec j</math>), (<math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>) sont notés <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>.

=== Expression simplifiée, en repère orthonormé ===

Les angles <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> sont supposés droits, donc leurs cosinus sont tous nuls. Donc les produits scalaires suivants sont nuls :
<math>\vec k.\vec l = 0</math>, <math>\vec l.\vec j = 0</math>, <math>\vec j.\vec k = 0</math>, <math>\vec j.\vec l = 0</math>, <math>\vec k.\vec j = 0</math>, <math>\vec l.\vec k = 0</math>.

Les trois autres sont unitaires par hypothèse : <math>\vec j.\vec j</math> = j² = unité au carré. <math>\vec k.\vec k</math> = k² = unité au carré. <math>\vec l.\vec l</math> = l² = unité au carré.

<math>\vec V = V_j \vec j \hspace{5}+\hspace{5} V_k \vec k \hspace{5}+\hspace{5} V_l \vec l </math> 
<math>\vec {V'} = V'_j \vec j \hspace{5}+\hspace{5} V'_k \vec k \hspace{5}+\hspace{5} V'_l \vec l </math> 

On utilise alors la distributivité : 
<math>\vec V . \vec {V'} \hspace{16}=\hspace{16} (V_j \vec j \hspace{8}+\hspace{8} V_k \vec k \hspace{8}+\hspace{8} V_l \vec l).(V'_j \vec j \hspace{8}+\hspace{8} V'_k \vec k \hspace{8}+\hspace{8} V'_l \vec l) \hspace{16}</math> = <math>\hspace{16}V_j V'_j\hspace{8}j^2 \hspace{8}+\hspace{8} V_k V'_k\hspace{8}k^2 \hspace{8}+\hspace{8} V_l V'_l\hspace{8}l^2 </math>.

En effet, les termes croisés sont tous affectés de coefficients nuls.

D'où <math>\vec V . \vec {V'} \hspace{8}=\hspace{8} (V_j V'_j \hspace{8}+\hspace{8} V_k V'_k \hspace{8}+\hspace{8} V_l V'_l )</math> unité². 

=== Expression complète avec les coordonnées ===

Pour l'expression générale, on est amenés à calculer, pour chaque système de vecteurs de base, un tableau carré '''g''', où sont portés les produits scalaires de chaque vecteur de base, par chaque vecteur de base.

<math>g \hspace{8}=\hspace{8} \begin{bmatrix}j^2 & \vec j.\vec k & \vec j.\vec l\\ \vec k.\vec j & k^2 & \vec k.\vec l\\ \vec l.\vec j & \vec l.\vec k & l^2 \end{bmatrix} \hspace{8}=\hspace{8} \begin{bmatrix} j^2 & jk\cos\gamma & jl\cos\beta \\ kj\cos\gamma & k^2 & kl\cos\alpha\\ lj\cos\beta & lk\cos\alpha & l^2 \end{bmatrix}</math>

Cela s'appelle le tenseur métrique, ou plus anciennement, la matrice de Gram (au sens des mathématiciens, en oubliant l'unité physique). Une base est orthonormale, si et seulement si sa matrice de Gram est la matrice unité multipliant le carré de l'unité de longueur. De toute évidence, '''g''' est un tenseur symétrique, et il est deux fois covariant, par construction.

D'où le carré du module d'un vecteur, comme produit contracté, dans le cas général : <math>\left\| \vec V \right\|^2 \hspace{12} = \hspace{12} \vec V.\vec V \hspace{12} = \hspace{12} \sum_{n,m} {g_{mn}V^mV^n}</math>

Sans le tenseur métrique vous ne pourriez rien faire en cristallographie et radiocristallographie : angles de droites, angles de droites et plans, angles de plans, distances entre plans, etc. Avec le tenseur métrique et les six paramètres de maille vous pouvez prédire toutes les raies d'un diffractogramme X (ou électronique, ou neutronique); vous en prédisez même trop, car selon le remplissage par le motif de maille, certaines raies sont nécessairement éteintes.

Cette relation s'étend au produit scalaire de deux vecteurs : <math> \vec V.\vec W \hspace{12} = \hspace{12} \sum_{n,m} {g_{mn}V^mW^n}</math>

Ce nom de "''tenseur''" est encore un de ces hasards cocasses de l'Histoire. Il se trouve que le premier physicien à s'emparer des outils de "'''calcul différentiel absolu'''" de '''Gregorio Ricci-Curbastro''' et de '''Tullio Levi-Civita''', fut '''Woldemar Voigt''', qui en avait l'usage pour décrire l'élasticité des cristaux.

Par un hasard similaire, un chant guerrier composé à Strasbourg pour l'armée du Rhin, devint ensuite "''la Marseillaise''". Il n'y a aucune espèce de "''tension''" à interpréter dans "''tenseur''", ni rien de marseillais dans notre hymne national. Il n'y a là rien de plus que le premier utilisateur qui ait été vraiment remarqué.

= Changements de base =

== Expression matricielle des changements de base ==

Cette expression découle directement de la définition des vecteurs comme classes d'équivalence des bipoints. Elle généralise ce que nous avons vu de la covariance et de la contravariance, rappelé dans l'article précédent. Ecrivons les coordonnées des nouveaux vecteurs de base, selon l'ancienne base :
<math>T \hspace{5}=\hspace{5} \begin{bmatrix}\epsilon_1^1 \\ \epsilon_1^2 \end{bmatrix}</math> et <math>\begin{bmatrix}\epsilon_2^1 \\ \epsilon_2^2 \end{bmatrix}</math>, puis assemblons ces colonnes de coordonnées en un tableau carré, appelé matrice de changement de base :

<math>\begin{bmatrix}\epsilon_1^1 & \epsilon_2^1 \\ \epsilon_1^2 & \epsilon_2^2\end{bmatrix}</math> en dimension 2, et <math>\begin{bmatrix}\epsilon_1^1 & \epsilon_2^1 & \epsilon_3^1\\ \epsilon_1^2 & \epsilon_2^2 & \epsilon_3^2\\ \epsilon_1^32 & \epsilon_2^3 & \epsilon_3^3\end{bmatrix}</math> en dimension 3.

Que notre espace vectoriel soit de dimension 2, 3, 4 ou 77, le principe est le même.

Nous pouvons calculer la matrice inverse T-1, telle que T-1.T = T.T-1 = 1.

T-1 est la matrice qui exprime l'ancienne base en fonction de la nouvelle. Nous avons déjà vu que les coordonnées d'un vecteur sont contravariantes à la base : un vecteur est du genre longueur. On pourrait le dire en style plus savant, mais cela n'apporterait rien de plus. Donc c'est la matrice T-1 qui transforme les anciennes coordonnées d'un vecteur dans les nouvelles (le même vecteur, exprimé selon la nouvelle base) :

Soit un vecteur quelconque, exprimé dans l'ancienne et la nouvelle base (dimension 3 ou n, qu'importe) :

<math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} V_j \vec j \hspace{5}+\hspace{5} V_k \vec k \hspace{5}+\hspace{5} V_l \vec l \hspace{5}=\hspace{5} V^1e_1 + V^2e_2 + V^3e_3 \hspace{5}=\hspace{5} V'^1\epsilon_1 + V'^2\epsilon_2 + V'^3\epsilon_3</math>

A partir de cet instant, on s'imposera la discipline de n'écrire les coordonnées contravariantes qu'avec des indices en haut. Il faudra ne pas confondre avec l'écriture des puissances d'un nombre.

A. Einstein (1879-1955) a condensé cette écriture, par la convention que tout indice répété en haut et en bas, signifie une sommation sur cet indice. Réécrivons selon la convention d'Einstein :
<math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} V^ie_i \hspace{5}=\hspace{5} V'^j\epsilon_j</math>

Or, par définition de T, <math>\epsilon_j = T^i_j \hspace{3} e_i</math>. Donc <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} V^i \hspace{3} e_i \hspace{5}=\hspace{5} V'^j\hspace{3}\epsilon_j = V'_j \hspace{3}T^i_j \hspace{3}e_i</math> . On peut validement simplifier par les vecteurs de base.

Il vient : <math>V^i = V'^j T^i_j</math>. C'est à dire les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. Nommons <math>\tau ^i_j</math> les coordonnées de la matrice inverse T-1. On peut alors exprimer les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes : <math>V'^i = V^j \tau^i_j</math> .

Les covecteurs ont le comportement dimensionnel opposé, soit exactement celui des vecteurs de la base : la matrice T change les anciennes coordonnées en les nouvelles.

Tels sont le comportement dimensionnel des vecteurs, et celui des covecteurs. Ce comportement est caractéristique, et ne connaît aucune exception. Si les coordonnées d'une grandeur ont un autre comportement envers un changement de base que celui d'un vecteur (respectivement : d'un covecteur), alors elle n'est pas un vecteur (resp. : un covecteur).

Cette règle est consubstantielle à la physique macroscopique.

== Garde-fou dimensionnel ==

Reprenons l'exemple d'un vecteur <math>\vec V</math> de l'espace affine ordinaire : <math>\vec V</math> = Vj <math>\vec j</math> + Vk <math>\vec k</math> + Vl <math>\vec l</math>. Il est naturellement rapporté à des vecteurs unitaires de base, qui sont eux-mêmes rapportés à une unité de longueur. Ces vecteurs unitaires sont donc exprimés en mètres. Tandis que les coordonnées (contravariantes) de notre vecteur sur ce repère, ne sont que des nombres.

Les composantes du tenseur métrique g, sont donc exprimées en mètres carrés, leur unité naturelle. Les composantes du tenseur métrique réciproque sont donc en m-2. Le covecteur inverse de <math>\vec V</math> s'exprime naturellement sur la base duale (contravariante), qui est en m-1 : <math>\vec V</math>.<math>\vec V^{-1}</math> = 1.

Il est devenu habituel de considérer sans précautions une seconde expression possible : exprimer <math>\vec V</math> en fonction de la base duale, et inversement, le vecteur dual en fonction de la base directe. Mais alors les nouvelles coordonnées cessent aussitôt d'être des nombres sans dimension.

Sur la base duale (contravariante, en m-1), les coordonnées (covariantes) de <math>\vec V</math> sont en m2. Si l'on passe en unités cm, les coordonnées sont alors divisées par 100 : ce sont des cm2. Tandis que les coordonnées naturelles (contravariantes) sont multipliées par 100.

Résumons : 2 m = 2 x 1 m = 200 x 1 cm = 200 cm2 x 1 cm-1 = 2 m2 x 1 m-1.

Nous avons bien vérifié sur les coordonnées covariantes : 200 cm2 = 2 m2 /100.

Sur la base directe (en m), les coordonnées du dual de <math>\vec V</math> sont en m-2. Si l'on passe en unités cm, les coordonnées sont alors multipliées par 100. Tandis que les coordonnées naturelles sont divisées par 100.

Résumons : 0,5 m-1 = 0,5 1 m-1 = 0,005 1 cm-1 = 0,005 cm-2 1 cm = 0,5 m-2 1 m.

Nous avons bien vérifié sur les coordonnées contravariantes : 0,005 cm-2 = 0,5 m-2x 100.

Et pourtant, depuis Elie Cartan, tout le monde croyait malin de répéter cet énorme barbarisme dimensionnel : "''En repère orthogonal, la distinction entre composantes covariantes, et composantes contravariantes disparaît''". Autrement dit : ''200 = 200 cm2''. Et ''5 = 5 cm-2''. Ahurissant. Tout est prêt pour l'affirmation : "''5 flacons = 5 pétroliers''", ou pour le calcul de l'âge du capitaine en additionnant les chèvres avec les oies.

== Livret de famille des grandeurs géométriques de la physique sur un espace vectoriel (de dimension n) ==

[[Image: Livret_famille.gif]]

Si le comportement des coordonnées d'une grandeur, ressemble à celui des coordonnées d'un vecteur ou d'un covecteur, en ce sens qu'il faut appliquer n fois la matrice de changement de base, et p fois la matrice inverse, alors cette grandeur appartient à la famille plus générale des tenseurs, ici n fois covariant, p fois contravariant, ce qui se note : de type (p, n).

Nous venons de citer le tenseur métrique, sous la forme de type (0,2) : coordonnées 2 fois covariantes.

Avant éventuelle contraction, le produit d'un vecteur par un covecteur, est de type (1, 1). Le produit de deux vecteurs est de type (2, 0). Le produit de deux covecteurs est de type (0, 2). La contraction d'un type (1, 1) a pour résultat un type (0, 0), scalaire. Sur un espace vectoriel de dimension n, un tenseur d'ordre p, a exactement np coordonnées. Mais des conditions de symétrie peuvent en restreindre l'indépendance.

Plus généralement, le dual (au sens algébrique, seul cohérent) d'une grandeur physique, a toujours les mêmes propriétés de symétrie. Pour l'instant, nous ne l'avons constaté que pour les vecteurs et leurs duaux, les covecteurs. Nous verrons ensuite le lien étroit avec la dimension physique, et avec le théorème de Noether.

= Références =

Suite : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

Pour aller plus loin : '''Lemmes pour l'algèbre des tourneurs :''' http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/syntaxe3.htm

Main Page

2016-10-30T11:50:42Z

Jacques Lavau:

= Un rond dans un rond, et qui tournent pareil, c'est vraiment TROP intellectuel pour vous ? =
L'essentiel pour comprendre l'électromagnétisme et pour l'enseigner.

Le champ magnétique produit par une bobine, c'est ''un rond dans un rond et qui tournent pareil'' :

[[Image:Intensite-champ-B.gif]]

L'effet du champ magnétique sur la vitesse d'un électron lancé : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''...

[[Image:V-q-F-B.gif]] 

 Trop compliqué ? 
Alors regardez l'expérience :

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

 Et maintenant on va vous donner le chemin complet qui mène à cette simplicité. 

 

== Cahier des charges de ce projet de rédaction ==
Prendre par la main un professeur de sciences physiques, au niveau d'un élève de classe de 3e, soit quatorze ans, et lui donner les moyens de comprendre et d'enseigner l'électromagnétisme, avec une simplicité et une efficacité qu'on n'a pas encore vues jusqu'à présent : la malchance s'était acharnée sur la profession. 
Lien vers le détail de ce cahier des charges : [[Cahier des charges : grandeurs physiques, vecteurs, gyreurs]].

== Chapitre 1 : Les grandeurs physiques ==
Les contraintes syntaxiques sont des garde-fous indispensables. 
Lien : [[Les grandeurs physiques]]

== Chapitre 2 : Vecteurs, définition, propriétés ==
Exemples : les grandeurs physiques qui sont vectorielles. 
Liens : [[Vecteurs, définition, propriétés]] 
[[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]

== Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs ==

NB : là un mot du vocabulaire innovant a été complètement renouvelé, grâce aux remarques successives de Florent Merlet, et de Jean-Luc Leroy-Bury (sur feu le forum de l'UdPPC) : il s'agit toujours de tenseurs antisymétriques du second ordre, initialement rebaptisés par moi en 1995 "tourneurs". M. Merlet a proposé "verseurs", qui hérite d'une tradition américaine non éteinte des "versors". Jean-Luc Leroy-Bury a proposé "gyreur", mot de métier ancien, éteint depuis. C'est ce dernier qui est préférable, car les conflits avec les habitudes mathématiciennes de "versors" tout abstraits et dispensés des contraintes sémantiques des grandeurs physiques, sont riches de dommages potentiels.

Les opérateurs et grandeurs physiques qui sont gyratoriels, leurs liens avec les grandeurs vectorielles. 

Lien : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Et pour aller plus loin : métrique et tenseur métrique ==

'''Lemmes pour l'algèbre des gyreurs :''' http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/syntaxe3.htm ou http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/syntaxe3.pdf
 '''Pratique de l’algèbre des gyreurs''' : http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Syntaxe4.htm ou http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Syntaxe4.pdf

== Exemples d'applications en cours ==

[http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Physique/3_champs.pdf Trois champs : de gravité, électrique, magnétique] (niveau Bac Pro).

[http://jacques.lavau.deonto-ethique.eurayonnement.html Cours ondes électromagnétiques ] (niveau BEP électronique).

[http://deontologic.org/deonto-famille/citoyens/debattre/index.php/topic,1946.0.html Accélération de Coriolis et inertie.] Applications en enseignement supérieur.

[[Accélération de Coriolis et inertie]].

== Aide : ==
[[Aide]] et [[Piste d'essais]].

==Capacités mathématiques de cette version :==

Les possibilités mathématiques LaTEX avec un Wiki ont été implantables sur cet hébergeur mutualisé, avec MimeteX. Le bouton maths <math>\sqrt x</math> dans l'éditeur de page, vous donne les deux balises de début et de fin de script.

Voir [http://deontologic.org/quantic/index.php?title=Produit_ext%C3%A9rieur[Produit extérieur]].

Documentation :

Documentation brève : http://www.forkosh.com/mimetex.html 
Documentation complète : http://www.forkosh.com/mimetexmanual.html 
Tous détails de la syntaxe : http://www.tug.org/begin.html#doc 
(Référence LaTEX sur deux pages : http://www.stdout.org/~winston/latex/latexsheet.pdf ).

Tous les essais et les discussions sont visibles à la page [http://deonto-ethics.org/quantic/index.php?title=Exemples_et_d%C3%A9bats_math%C3%A9matiques[Exemples et débats mathématiques]].

Et voyez : ça marche ! <tex>\unitlength{.6} \picture(100) {
(50,50){\circle(99)} %%head%%
(20,55;50,0;2){\fs{+1}\hat\bullet} %%eyes%%
(50,40){\bullet} %%nose%%
(50,35){\circle(50,25;34)} %%upper lip%%
(50,35){\circle(50,45;34)} %%lower lip%% }</tex>

== Devant les assauts de robots spammeurs ==
Devant les assauts de spammeurs, j'ai d'abord durci l'inscription pour bloquer les robots spammeurs. Vous devrez fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

Au pire... voilà, le pire et là, deux inscriptions de robots spammeurs par jour, c'est lassant, il est devenu nécessaire que je désactive provisoirement la possibilité d'inscription.

Si vous voulez vous inscrire comme contributeur honnête, il vous suffira d'envoyer un message à Jacques (arob] deonto (tiret) ethique (point) eu en précisant votre identité et vos intentions, ainsi que le jour et le créneau horaire que vous voulez pour procéder à votre inscription (en général en soirée, typiquement de 20 à 22 h). Vous devrez encore fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

MediaWiki has been successfully installed.

Consult the [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents User's Guide] for information on using the wiki software.

== Getting started ==
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Localisation#Translation_resources Localise MediaWiki for your language]

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2016-10-30T11:47:02Z

Jacques Lavau: /* Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Image:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Image:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Image:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Image:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Image:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Image:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://http://citoyens.deontolog.org/index.php?board=8.0

Main Page

2015-10-21T21:52:35Z

Jacques Lavau: /* Capacités mathématiques de cette version : */

= Un rond dans un rond, et qui tournent pareil, c'est vraiment TROP intellectuel pour vous ? =
L'essentiel pour comprendre l'électromagnétisme et pour l'enseigner.

Le champ magnétique produit par une bobine, c'est ''un rond dans un rond et qui tournent pareil'' :

[[Image:Intensite-champ-B.gif]]

L'effet du champ magnétique sur la vitesse d'un électron lancé : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''...

[[Image:V-q-F-B.gif]] 

 Trop compliqué ? 
Alors regardez l'expérience :

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

 Et maintenant on va vous donner le chemin complet qui mène à cette simplicité. 

 

== Cahier des charges de ce projet de rédaction ==
Prendre par la main un professeur de sciences physiques, au niveau d'un élève de classe de 3e, soit quatorze ans, et lui donner les moyens de comprendre et d'enseigner l'électromagnétisme, avec une simplicité et une efficacité qu'on n'a pas encore vues jusqu'à présent : la malchance s'était acharnée sur la profession. 
Lien vers le détail de ce cahier des charges : [[Cahier des charges : grandeurs physiques, vecteurs, gyreurs]].

== Chapitre 1 : Les grandeurs physiques ==
Les contraintes syntaxiques sont des garde-fous indispensables. 
Lien : [[Les grandeurs physiques]]

== Chapitre 2 : Vecteurs, définition, propriétés ==
Exemples : les grandeurs physiques qui sont vectorielles. 
Liens : [[Vecteurs, définition, propriétés]] 
[[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]

== Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs ==

NB : là un mot du vocabulaire innovant a été complètement renouvelé, grâce aux remarques successives de Florent Merlet, et de Jean-Luc Leroy-Bury (sur feu le forum de l'UdPPC) : il s'agit toujours de tenseurs antisymétriques du second ordre, initialement rebaptisés par moi en 1995 "tourneurs". M. Merlet a proposé "verseurs", qui hérite d'une tradition américaine non éteinte des "versors". Jean-Luc Leroy-Bury a proposé "gyreur", mot de métier ancien, éteint depuis. C'est ce dernier qui est préférable, car les conflits avec les habitudes mathématiciennes de "versors" tout abstraits et dispensés des contraintes sémantiques des grandeurs physiques, sont riches de dommages potentiels.

Les opérateurs et grandeurs physiques qui sont gyratoriels, leurs liens avec les grandeurs vectorielles. 

Lien : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Et pour aller plus loin : métrique et tenseur métrique ==

'''Lemmes pour l'algèbre des gyreurs :''' http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.pdf
 '''Pratique de l’algèbre des gyreurs''' : http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.pdf

== Exemples d'applications en cours ==

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Physique/3_champs.pdf Trois champs : de gravité, électrique, magnétique] (niveau Bac Pro).

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/rayonnement.html Cours ondes électromagnétiques ] (niveau BEP électronique).

[http://deontologic.org/deonto-famille/citoyens/debattre/index.php/topic,1946.0.html Accélération de Coriolis et inertie.] Applications en enseignement supérieur.

[[Accélération de Coriolis et inertie]].

== Aide : ==
[[Aide]] et [[Piste d'essais]].

==Capacités mathématiques de cette version :==

Les possibilités mathématiques LaTEX avec un Wiki ont été implantables sur cet hébergeur mutualisé, avec MimeteX. Le bouton maths <math>\sqrt x</math> dans l'éditeur de page, vous donne les deux balises de début et de fin de script.

Voir [http://deontologic.org/quantic/index.php?title=Produit_ext%C3%A9rieur[Produit extérieur]].

Documentation :

Documentation brève : http://www.forkosh.com/mimetex.html 
Documentation complète : http://www.forkosh.com/mimetexmanual.html 
Tous détails de la syntaxe : http://www.tug.org/begin.html#doc 
(Référence LaTEX sur deux pages : http://www.stdout.org/~winston/latex/latexsheet.pdf ).

Tous les essais et les discussions sont visibles à la page [http://deonto-ethics.org/quantic/index.php?title=Exemples_et_d%C3%A9bats_math%C3%A9matiques[Exemples et débats mathématiques]].

Et voyez : ça marche ! <tex>\unitlength{.6} \picture(100) {
(50,50){\circle(99)} %%head%%
(20,55;50,0;2){\fs{+1}\hat\bullet} %%eyes%%
(50,40){\bullet} %%nose%%
(50,35){\circle(50,25;34)} %%upper lip%%
(50,35){\circle(50,45;34)} %%lower lip%% }</tex>

== Devant les assauts de robots spammeurs ==
Devant les assauts de spammeurs, j'ai d'abord durci l'inscription pour bloquer les robots spammeurs. Vous devrez fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

Au pire... voilà, le pire et là, deux inscriptions de robots spammeurs par jour, c'est lassant, il est devenu nécessaire que je désactive provisoirement la possibilité d'inscription.

Si vous voulez vous inscrire comme contributeur honnête, il vous suffira d'envoyer un message à Jacques (arob] deonto (tiret) ethique (point) eu en précisant votre identité et vos intentions, ainsi que le jour et le créneau horaire que vous voulez pour procéder à votre inscription (en général en soirée, typiquement de 20 à 22 h). Vous devrez encore fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

MediaWiki has been successfully installed.

Consult the [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents User's Guide] for information on using the wiki software.

== Getting started ==
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Localisation#Translation_resources Localise MediaWiki for your language]

Main Page

2015-09-19T11:59:50Z

Jacques Lavau: /* Capacités mathématiques de cette version : */

= Un rond dans un rond, et qui tournent pareil, c'est vraiment TROP intellectuel pour vous ? =
L'essentiel pour comprendre l'électromagnétisme et pour l'enseigner.

Le champ magnétique produit par une bobine, c'est ''un rond dans un rond et qui tournent pareil'' :

[[Image:Intensite-champ-B.gif]]

L'effet du champ magnétique sur la vitesse d'un électron lancé : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''...

[[Image:V-q-F-B.gif]] 

 Trop compliqué ? 
Alors regardez l'expérience :

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

 Et maintenant on va vous donner le chemin complet qui mène à cette simplicité. 

 

== Cahier des charges de ce projet de rédaction ==
Prendre par la main un professeur de sciences physiques, au niveau d'un élève de classe de 3e, soit quatorze ans, et lui donner les moyens de comprendre et d'enseigner l'électromagnétisme, avec une simplicité et une efficacité qu'on n'a pas encore vues jusqu'à présent : la malchance s'était acharnée sur la profession. 
Lien vers le détail de ce cahier des charges : [[Cahier des charges : grandeurs physiques, vecteurs, gyreurs]].

== Chapitre 1 : Les grandeurs physiques ==
Les contraintes syntaxiques sont des garde-fous indispensables. 
Lien : [[Les grandeurs physiques]]

== Chapitre 2 : Vecteurs, définition, propriétés ==
Exemples : les grandeurs physiques qui sont vectorielles. 
Liens : [[Vecteurs, définition, propriétés]] 
[[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]

== Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs ==

NB : là un mot du vocabulaire innovant a été complètement renouvelé, grâce aux remarques successives de Florent Merlet, et de Jean-Luc Leroy-Bury (sur feu le forum de l'UdPPC) : il s'agit toujours de tenseurs antisymétriques du second ordre, initialement rebaptisés par moi en 1995 "tourneurs". M. Merlet a proposé "verseurs", qui hérite d'une tradition américaine non éteinte des "versors". Jean-Luc Leroy-Bury a proposé "gyreur", mot de métier ancien, éteint depuis. C'est ce dernier qui est préférable, car les conflits avec les habitudes mathématiciennes de "versors" tout abstraits et dispensés des contraintes sémantiques des grandeurs physiques, sont riches de dommages potentiels.

Les opérateurs et grandeurs physiques qui sont gyratoriels, leurs liens avec les grandeurs vectorielles. 

Lien : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Et pour aller plus loin : métrique et tenseur métrique ==

'''Lemmes pour l'algèbre des gyreurs :''' http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.pdf
 '''Pratique de l’algèbre des gyreurs''' : http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.pdf

== Exemples d'applications en cours ==

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Physique/3_champs.pdf Trois champs : de gravité, électrique, magnétique] (niveau Bac Pro).

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/rayonnement.html Cours ondes électromagnétiques ] (niveau BEP électronique).

[http://deontologic.org/deonto-famille/citoyens/debattre/index.php/topic,1946.0.html Accélération de Coriolis et inertie.] Applications en enseignement supérieur.

[[Accélération de Coriolis et inertie]].

== Aide : ==
[[Aide]] et [[Piste d'essais]].

==Capacités mathématiques de cette version :==

Les possibilités mathématiques LaTEX avec un Wiki ont été implantables sur cet hébergeur mutualisé, avec MimeteX. Le bouton maths <math>\sqrt x</math> dans l'éditeur de page, vous donne les deux balises de début et de fin de script.

Voir [http://deontologic.org/quantic/index.php?title=Produit_ext%C3%A9rieur[Produit extérieur]].

Documentation :

Documentation brève : http://www.forkosh.com/mimetex.html 
Documentation complète : http://www.forkosh.com/mimetexmanual.html 
Tous détails de la syntaxe : http://www.tug.org/begin.html#doc 
(Référence LaTEX sur deux pages : http://www.stdout.org/~winston/latex/latexsheet.pdf ).

Tous les essais et les discussions sont visibles à la page [http://deonto-ethics.org/mediawiki/index.php?title=Exemples_et_d%C3%A9bats_math%C3%A9matiques[Exemples et débats mathématiques]].

Et voyez : ça marche ! <tex>\unitlength{.6} \picture(100) {
(50,50){\circle(99)} %%head%%
(20,55;50,0;2){\fs{+1}\hat\bullet} %%eyes%%
(50,40){\bullet} %%nose%%
(50,35){\circle(50,25;34)} %%upper lip%%
(50,35){\circle(50,45;34)} %%lower lip%% }</tex>

== Devant les assauts de robots spammeurs ==
Devant les assauts de spammeurs, j'ai d'abord durci l'inscription pour bloquer les robots spammeurs. Vous devrez fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

Au pire... voilà, le pire et là, deux inscriptions de robots spammeurs par jour, c'est lassant, il est devenu nécessaire que je désactive provisoirement la possibilité d'inscription.

Si vous voulez vous inscrire comme contributeur honnête, il vous suffira d'envoyer un message à Jacques (arob] deonto (tiret) ethique (point) eu en précisant votre identité et vos intentions, ainsi que le jour et le créneau horaire que vous voulez pour procéder à votre inscription (en général en soirée, typiquement de 20 à 22 h). Vous devrez encore fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

MediaWiki has been successfully installed.

Consult the [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents User's Guide] for information on using the wiki software.

== Getting started ==
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Localisation#Translation_resources Localise MediaWiki for your language]

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T19:01:29Z

Jacques Lavau: /* Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) */

Main Page

2014-11-20T15:18:22Z

Jacques Lavau: /* Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs */

= Un rond dans un rond, et qui tournent pareil, c'est vraiment TROP intellectuel pour vous ? =
L'essentiel pour comprendre l'électromagnétisme et pour l'enseigner.

Le champ magnétique produit par une bobine, c'est ''un rond dans un rond et qui tournent pareil'' :

[[Image:Intensite-champ-B.gif]]

L'effet du champ magnétique sur la vitesse d'un électron lancé : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''...

[[Image:V-q-F-B.gif]] 

 Trop compliqué ? 
Alors regardez l'expérience :

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

 Et maintenant on va vous donner le chemin complet qui mène à cette simplicité. 

 

== Cahier des charges de ce projet de rédaction ==
Prendre par la main un professeur de sciences physiques, au niveau d'un élève de classe de 3e, soit quatorze ans, et lui donner les moyens de comprendre et d'enseigner l'électromagnétisme, avec une simplicité et une efficacité qu'on n'a pas encore vues jusqu'à présent : la malchance s'était acharnée sur la profession. 
Lien vers le détail de ce cahier des charges : [[Cahier des charges : grandeurs physiques, vecteurs, gyreurs]].

== Chapitre 1 : Les grandeurs physiques ==
Les contraintes syntaxiques sont des garde-fous indispensables. 
Lien : [[Les grandeurs physiques]]

== Chapitre 2 : Vecteurs, définition, propriétés ==
Exemples : les grandeurs physiques qui sont vectorielles. 
Liens : [[Vecteurs, définition, propriétés]] 
[[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]

== Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs ==

NB : là un mot du vocabulaire innovant a été complètement renouvelé, grâce aux remarques successives de Florent Merlet, et de Jean-Luc Leroy-Bury (sur feu le forum de l'UdPPC) : il s'agit toujours de tenseurs antisymétriques du second ordre, initialement rebaptisés par moi en 1995 "tourneurs". M. Merlet a proposé "verseurs", qui hérite d'une tradition américaine non éteinte des "versors". Jean-Luc Leroy-Bury a proposé "gyreur", mot de métier ancien, éteint depuis. C'est ce dernier qui est préférable, car les conflits avec les habitudes mathématiciennes de "versors" tout abstraits et dispensés des contraintes sémantiques des grandeurs physiques, sont riches de dommages potentiels.

Les opérateurs et grandeurs physiques qui sont gyratoriels, leurs liens avec les grandeurs vectorielles. 

Lien : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Et pour aller plus loin : métrique et tenseur métrique ==

'''Lemmes pour l'algèbre des gyreurs :''' http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.pdf
 '''Pratique de l’algèbre des gyreurs''' : http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.pdf

== Exemples d'applications en cours ==

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Physique/3_champs.pdf Trois champs : de gravité, électrique, magnétique] (niveau Bac Pro).

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/rayonnement.html Cours ondes électromagnétiques ] (niveau BEP électronique).

[http://deontologic.org/deonto-famille/citoyens/debattre/index.php/topic,1946.0.html Accélération de Coriolis et inertie.] Applications en enseignement supérieur.

[[Accélération de Coriolis et inertie]].

== Aide : ==
[[Aide]] et [[Piste d'essais]].

==Capacités mathématiques de cette version :==

Les possibilités mathématiques LaTEX avec un Wiki ont été implantables sur cet hébergeur mutualisé, avec MimeteX. Le bouton maths <math>\sqrt x</math> dans l'éditeur de page, vous donne les deux balises de début et de fin de script.

Voir [http://deonto-ethique.eu/quantic/index.php?title=Produit_ext%C3%A9rieur[Produit extérieur]].

Documentation :

Documentation brève : http://www.forkosh.com/mimetex.html 
Documentation complète : http://www.forkosh.com/mimetexmanual.html 
Tous détails de la syntaxe : http://www.tug.org/begin.html#doc 
(Référence LaTEX sur deux pages : http://www.stdout.org/~winston/latex/latexsheet.pdf ).

Tous les essais et les discussions sont visibles à la page [http://deonto-ethics.org/mediawiki/index.php?title=Exemples_et_d%C3%A9bats_math%C3%A9matiques[Exemples et débats mathématiques]].

Et voyez : ça marche ! <tex>\unitlength{.6} \picture(100) {
(50,50){\circle(99)} %%head%%
(20,55;50,0;2){\fs{+1}\hat\bullet} %%eyes%%
(50,40){\bullet} %%nose%%
(50,35){\circle(50,25;34)} %%upper lip%%
(50,35){\circle(50,45;34)} %%lower lip%% }</tex>

== Devant les assauts de robots spammeurs ==
Devant les assauts de spammeurs, j'ai d'abord durci l'inscription pour bloquer les robots spammeurs. Vous devrez fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

Au pire... voilà, le pire et là, deux inscriptions de robots spammeurs par jour, c'est lassant, il est devenu nécessaire que je désactive provisoirement la possibilité d'inscription.

Si vous voulez vous inscrire comme contributeur honnête, il vous suffira d'envoyer un message à Jacques (arob] deonto (tiret) ethique (point) eu en précisant votre identité et vos intentions, ainsi que le jour et le créneau horaire que vous voulez pour procéder à votre inscription (en général en soirée, typiquement de 20 à 22 h). Vous devrez encore fournir une adresse email valide pour pouvoir écrire et corriger.

MediaWiki has been successfully installed.

Consult the [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents User's Guide] for information on using the wiki software.

== Getting started ==
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [//www.mediawiki.org/wiki/Localisation#Translation_resources Localise MediaWiki for your language]

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:15:56Z

Jacques Lavau: /* Comment corriger les anciens produits "vectoriels" de vos manuels. */

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:15:01Z

Jacques Lavau: /* Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Image:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Image:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Image:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Image:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:14:28Z

Jacques Lavau: /* Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Image:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Image:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Image:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Fichier:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:13:53Z

Jacques Lavau: /* Position dans le livret de famille des multivecteurs */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Image:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Image:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Fichier:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Fichier:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

File:Tourneur retourne-vecteur-conserve2.gif

2014-11-20T15:13:05Z

Jacques Lavau:

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:11:43Z

Jacques Lavau: /* Symétries comparées. */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Image:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Fichier:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Fichier:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Fichier:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:10:52Z

Jacques Lavau: /* Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Fichier:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Fichier:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Fichier:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Fichier:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Fichier:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Fichier:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:10:18Z

Jacques Lavau: /* Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Fichier:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Fichier:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Fichier:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Fichier:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Fichier:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Fichier:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Fichier:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2014-11-20T15:09:42Z

Jacques Lavau: /* Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) */

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Fichier:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Fichier:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Fichier:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Fichier:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Fichier:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Fichier:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Fichier:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Fichier:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

File:Prod exter V1V2.gif

2014-11-20T15:05:48Z

Jacques Lavau: Jacques Lavau uploaded a new version of "File:Prod exter V1V2.gif"

File:Theor-Ampere.gif

2014-11-20T10:21:23Z

Jacques Lavau:

File:Tourneur-conserve.gif

2014-11-20T10:18:54Z

Jacques Lavau:

File:Trad-tout-vecteur.gif

2014-11-20T10:17:30Z

Jacques Lavau:

File:Livret fam multivecteurs.gif

2014-11-20T10:15:33Z

Jacques Lavau:

File:Spire-champ-deviation.gif

2014-11-20T10:14:02Z

Jacques Lavau:

File:Tourneur retourne-vecteur-conserve.gif

2014-11-20T10:12:19Z

Jacques Lavau:

File:Tourneur-plan-rotation.gif

2014-11-20T10:10:42Z

Jacques Lavau:

File:Trad-vecteur-axial.gif

2014-11-20T10:08:30Z

Jacques Lavau: Jacques Lavau uploaded a new version of "File:Trad-vecteur-axial.gif"

File:Trad-vecteur-axial.gif

2014-11-20T10:06:22Z

Jacques Lavau:

File:Tourneur-sur-vecteur.gif

2014-11-20T10:03:58Z

Jacques Lavau: Jacques Lavau uploaded a new version of "File:Tourneur-sur-vecteur.gif"

Calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire

2014-11-20T10:01:50Z

Jacques Lavau: Created page with " == Calcul rigoureux (mais trop compliqué) pour le cas du gyreur strict, quotient == Le lecteur peut sauter ce paragraphe, et aller directement au suivant. Feignons d'ig..."

== Calcul rigoureux (mais trop compliqué) pour le cas du gyreur strict, quotient ==

Le lecteur peut sauter ce paragraphe, et aller directement au suivant.

Feignons d'ignorer tout du calcul matriciel, des représentations matricielles, mais en sachant tout de même la trigonométrie.

[[Fichier:Mvmt_circ.gif]]

Désignons par <math>\theta</math> l'angle (quelconque) de <math>\vec R</math> avec l'axe des x. Alors les coordonnées de <math>\vec R</math> sont R cos<math>\theta</math> , et R sin<math>\theta</math> (et zéro, si l'on s'encombre dès maintenant de la 3e dimension).

Tandis que les coordonnées de <math>\vec V</math> sont : V cos(<math>\theta</math> + <math>\pi</math>/2) et V sin (<math>\theta</math>+ <math>\pi</math>/2)

(signe +, car rotation dans le sens direct, pour des axes orientés de même). Exprimons les quatre quotients.

Mimant l'ignorance totale, nous allons même ignorer qu'il est plus pratique de les ranger en tableau carré. Rangeons donc provisoirement en ligne les quatre influences-d'une-coordonnée-de-R-sur-une-coordonnée-de-V (les signes affectant des valeurs absolues, dépendent évidemment du signe de la rotation, par rapport à l'orientation des axes de coordonnées) :

{| border="3"
! de Rx vers Vx
! de Rx vers Vy
! de Ry vers Vx
! de Ry vers Vy
|-----
| V/R tg <math>\theta</math>
| V/R
| -V/R
| V/R cotg <math>\theta</math>
|-----
|}

Premier mouvement de panique : Ces coefficients sont trop compliqués ! Mais remarquons que ces coefficients sont deux à deux redondants, et que si nous les appliquons simultanément, nous obtiendrons à chaque instant le double de la vitesse <math>\vec V</math>.

Vx = ½ V/R (+ Rx tg <math>\theta</math> - Ry )

Vy = ½ V/R (+ Rx + Ry cotg <math>\theta)</math>

Nous avons intérêt à scinder ces coefficients en deux groupes, dont chacun est suffisant :

{| border="3"
! de Rx vers Vx
! de Rx vers Vy
! de Ry vers Vx
! de Ry vers Vy
|-----
| 0
| V/R
| -V/R
| 0
|-----
| V/R tg <math>\theta</math>
| 0
| 0
| V/R cotg <math>\theta</math>
|}

Or, seul le groupe de la première ligne a la propriété d'être invariant envers <math>\theta</math>. Lui seul donc est digne de représenter l'être physique "vitesse angulaire de rotation", qui lui, est un invariant quel que soit <math>\theta</math>. Le second groupe conviendrait pour décrire une oscillation harmonique droite. Ici ce n'est qu'une fausse solution, proposée par notre mathématisation : un groupe non faux, mais sans intérêt, et affligé de discontinuités rédhibitoires pour <math>\theta</math> = <math>\pi</math>/2 + k<math>\pi</math>. Une autre façon équivalente, d'apparence plus rigoureuse, est de faire la moyenne des coefficients trouvés, en faisant varier <math>\theta</math> de 0 à 2<math>\pi</math>. Les termes en tg <math>\theta</math> et cotg <math>\theta</math> s'annulent en moyenne. Ce qu'il fallait démontrer. Il ne reste plus au lecteur, qu'à se convaincre de l'intérêt de disposer ces quatre coefficients retenus, sous la forme d'un tableau carré, au lieu de les entasser en ligne.

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Fichier:Cercle_trigo_omega.gif]]

R11 = R 
R12 = 0 (1ère coordonnée du 2e vecteur) 
R21 = 0 (2ème coordonnée du 1er vecteur) 
R22 = R 

V11 = 0 
V12 = -V (1ère coordonnée du 2e vecteur) 
V21 = V (2ème coordonnée du 1er vecteur) 
V22 = 0 

On résout le système suivant, où les coordonnées de <math>\breve\omega (\alpha,\hspace{5} \beta,\hspace{5} \delta\hspace{5} \eta)</math> sont les inconnues :

<math>\omega.\left(\begin{array} \alpha & \beta \\ \delta& \eta \end{array}\right). R.\left(\begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\hspace{5}=\hspace{5} \omega R.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \hspace{5}=\hspace{5} V. \left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math> (produit matriciel, ordinaire)

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega) = \omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons. Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

File:Cercle trigo omega.gif

2014-11-20T09:59:32Z

Jacques Lavau:

File:Prod exter V1V2.gif

2014-11-20T09:58:00Z

Jacques Lavau:

File:M-B-R-i-dl.gif

2014-11-20T09:56:57Z

Jacques Lavau:

File:Lentz-dPhi.gif

2014-11-20T09:56:06Z

Jacques Lavau:

File:Tourneur-sur-vecteur.gif

2014-11-20T09:54:55Z

Jacques Lavau:

File:R-i-dl.gif

2014-11-20T09:53:15Z

Jacques Lavau:

File:Roulement-rouleaux.gif

2014-11-20T09:52:33Z

Jacques Lavau:

File:Aire-parallelo.gif

2014-11-20T09:51:41Z

Jacques Lavau:

File:Secteur-entre-V.gif

2014-11-20T09:50:57Z

Jacques Lavau:

File:R-V-gamma.gif

2014-11-20T09:50:07Z

Jacques Lavau:

File:V-omega-gamma.gif

2014-11-20T09:49:02Z

Jacques Lavau:

File:R-omega-V.gif

2014-11-20T09:48:12Z

Jacques Lavau:

File:Mvmt circ.gif

2014-11-20T09:47:14Z

Jacques Lavau:

File:Livret famille.gif

2014-11-20T09:45:41Z

Jacques Lavau:

Métrique des grandeurs vectorielles en physique

2014-11-20T09:44:55Z

Jacques Lavau: /* Références */

Vecteurs, définition, propriétés

2014-11-20T09:44:02Z

Jacques Lavau: /* Quelles sont les grandeurs physiques qui sont vectorielles ? */

File:Repere.gif

2014-11-20T09:42:13Z

Jacques Lavau:

File:Symetrie-droite-qnque.gif

2014-11-20T09:41:26Z

Jacques Lavau:

File:Symetrie-droite-perpend.gif

2014-11-20T09:36:53Z

Jacques Lavau:

File:Symetrie-droite-parall.gif

2014-11-20T09:36:07Z

Jacques Lavau:

File:Symetrie-point.gif

2014-11-20T09:34:07Z

Jacques Lavau: