Relativité générale simplifiée

De Quantique, rétrosymétrie, absorbeurs
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La relativité générale en champ faible peut s'obtenir en extrapolant à quatre dimensions l'équation de Laplace qui devient alors l'équation de d'Alembert.

Partons de l'équation de Laplace radiale:

LaTeX:  \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm dg_{rr}}{\mathrm dr}\right)= 0

Ajoutons-y la quatrième dimension:

LaTeX:  \frac{1}{r^2}\frac{ d}{ dr}(r^2\frac{ dg_{rr}}{ dr}) - \frac{ d^2g_{rr}}{\ d(ict)^2}= 0

On aura la même équation pour l'autre coefficient de la métrique:

LaTeX:  \frac{1}{r^2}\frac{ d}{ dr}(r^2\frac{ dg_{tt}}{ dr}) - \frac{ d^2g_{tt}}{\ d(ict)^2}= 0

Lorsque les coefficients de la métrique sont indépendants du temps, on retrouve l'équation de Laplace, dont la solution est en 1/r. On a donc

et, de même pour l'équation en LaTeX: g_{tt} dont la solution est le potentiel de Coulomb en 1/r avec, en tout quatre constantes d'intégration A, A' , B, B' , à déterminer :

LaTeX:  ds^2=  g_{rr} \, dr^2 - g_{tt} c^2 \,  dt^2= \left(A+ \frac{B}{r}\right) \,  dr^2 -c^2 \left(A'+ \frac{B'}{r}\right) \, dt^2

Pour obtenir les constantes d'intégration A et A’ on applique le principe de correspondance avec la relativité restreinte pour r = ∞ :

LaTeX:  ds^2= A \,  dr^2 -c^2 A' \,  dt^2