Le spin

De Quantique, rétrosymétrie, absorbeurs
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Calcul relativiste

Spin du photon

D'après l'équivalence de l'énergie et de la masse, selon les relations de Planck LaTeX: E=h\nu et d'Einstein LaTeX: E=mc^2, le photon peut être considéré comme une petite masse (en mouvement à la vitesse c de la lumière) LaTeX: m=\frac{h\nu}{c^2} tournant aussi à la vitesse c de la lumière à l'extrémité de son rayon théorique obtenu en faisant l'hypohèse que la longueur d'onde de matière est égale à la longueur de la circonférence. C'est la même hypothèse qu'a utilisé de Broglie pour obtenir le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène :

LaTeX: R=\frac{c}{2\pi \nu}

On en déduit le moment cinétique angulaire du photon

LaTeX: L=mcR=\frac{mc^2}{2\pi\nu}=\frac{h\nu}{2\pi\nu}=\hbar

Le photon, selon Rocard, peut donc être modélisé comme un anneau en rotation de masse LaTeX: h\nu/c^2 en accord avec son spin un. "Il faut bien dire que ces images géométriques trop précises ne sont pas appréciées des physiciens modernes" (Rocard, Y, Thermodynamique, Masson, 1957, p. 250).

Spin de l'électron

Lorentz avait affirmé qu'un électron ayant un rayon dit "classique" aurait une vitesse superficielle environ dix fois celle de la lumière. En fait il n'avait pas tenu compte de la variation de la masse avec la lumière et en avait conclu que la vitesse périphérique de l'électron dépasserait largement celle de la lumière (le comble pour un des fondateurs de la relativité!). Uhlenbeck et Goudsmit ne s'en sont pas non plus aperçus (voir Sources et évolution de la physique quantique par Escoubès et Lopes, EDP Sciences, p 80).

Le calcul ci-après montre qu'on obtient, en appliquant la relativité, avec une vitesse circonférentielle égale à celle de la lumière, un rayon plus grand que le rayon classique, celui de Compton de l'électron.

Le calcul est plus compliqué que pour le photon car l'électron possède une masse au repos non nulle. MacGregor, dans son livre (MacGregor M.H., The Enigmatic Electron, Kluwer, Dordrecht, 1992), montre qu'il faut tenir compte de la variation relativiste de la masse avec la vitesse de rotation. Il fait l'hypothèse que la vitesse équatoriale de l’électron au repos est égale à la vitesse c de la lumière. Calculons la masse m observée d'une sphère pleine (une boule) de rayon R en rotation relativiste à la vitesse LaTeX:  v=\omega r. La vitesse de rotation angulaire est supposée constante, c'est-à-dire que l'électron est un solide rigide, de résistance mécanique infinie et non un fluide. Soit LaTeX: \rho(r) la masse spécifique à la distance r de l'axe de rotation et LaTeX: \rho_0 sur l'axe de rotation où la matière est au repos. Le volume étant inchangé, la masse spécifique relativiste est :

LaTeX:  \rho(r) =\frac{\rho_0}{\sqrt{1-\frac{v^2(r)}{c^2}}}

La hauteur du cylindre élémentaire est h. La vitesse linéaire de rotation, LaTeX: v=\omega r, est égale à c sur l'équateur, ce qui donne la vitesse angulaire LaTeX: \omega=c/R. On a donc, en tenant compte de la variation relativiste de la masse :

LaTeX: m=\int_0^R \rho(r)2\pi(2h)rdr
=2\pi\rho_0 R^2 \int_0^R\frac{2\sqrt{R^2-r^2}}{\sqrt{1-\frac{(\omega r)^2}{c^2}}}d\frac{r^2}{2R^2}

LaTeX: m=2\pi\rho_0 R^3 \int_0^R\frac{\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}}{\sqrt{1-\frac{c^2 r^2}{R^2 c^2}}}d\frac{r^2}{R^2} 
=2\pi\rho_0 R^3 \int_0^Rd\frac{r^2}{R^2}=2\pi\rho_0 R^3

On calcule de façon analogue le moment d’inertie relativiste de la sphère pleine (boule), assez peu différent du moment classique LaTeX:  \frac{3}{5}mR^2=0,6 mR^2 :

LaTeX: I=\int_0^R r^2 dm=\int_0^R r^2\rho_0(r)2\pi(2h)rdr
=2\pi\rho_0 R^3 \int_0^R\frac{2\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}}{\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}}d\frac{r^4}{4R^4}

LaTeX: I=\pi\rho_0 R^3 \int_0^R d\frac{r^4}{R^4}=\pi\rho_0 R^5=\frac{1}{2}mR^2=0,5 mR^2

La simplification est cruciale dans ce calcul, pratiquement inextricable dans le cas général. La relation d'Einstein-Planck donne la fréquence propre LaTeX: \nu de l'électron. En l'identifiant à sa vitesse de rotation angulaire LaTeX: \omega, on a :

LaTeX: \omega=2\pi\nu=2\pi\frac{mc^2}{h}

On obtient pour l'électron un rayon différent du rayon "classique"

LaTeX: R= \frac{c}{\omega}=\frac{\hbar}{mc}=R_C

LaTeX: R_C\ est le rayon de Compton, celui-là même qui apparaît dans l'équation de Klein-Gordon et, bien sûr, dans l'effet Compton. MacGregor obtient ainsi le moment cinétique intrinsèque de l’électron :

LaTeX: L=I\omega=\frac{1}{2}mR_C^2 2\pi\nu=\frac{1}{2}\frac{h\nu}{c^2}\left(\frac{c}{2\pi\nu}\right)^22\pi\nu=    \frac{1}{2}\hbar

en accord avec l'expression habituelle. Cela donne un spin de 1/2 en unités de LaTeX: \hbar. Cette approche est relativiste comme celle de Dirac mais en plus compréhensible. La même approche pourrait être utilisée pour les particules, élémentaires ou non. En conclusion, il suffit d'appliquer la relativité pour obtenir le moment d'inertie et identifier la fréquence ν=E/h à une rotation ω=2πν pour obtenir le spin. Le rapport de 1/2 entre les moments intrinsèque et orbital de l'électron s'explique simplement par une répartition relativiste des masses dans l'électron qui n'a pas d'effet sur le moment orbital.

Moment magnétique

Le spin est relié au moment magnétique d'une particule chargée comme l'électron, le proton et même le neutron qui contient des charges électriques de somme nulle. La rotation des charges électriques génèrent un courant circulaire produisant un moment magnétique. Une hypothèse simple consiste à supposer que le courant électrique est circulaire mais il peut aussi être réparti en surface ou dans tout le volume de la particule. Le moment magnétique correspondant est donné par la formule:

LaTeX: \mu=IS=\frac{e\pi R^2}{T}

de période

LaTeX: T=\frac{2\pi R}{v}

Finalement:

LaTeX: \mu=\frac{e\pi R^2v}{2\pi R}=\frac{evR}{2}

Le moment cinétique étant

LaTeX: L=mvR

le moment magnétique est

LaTeX: \mu=\frac{eL}{2m}

D'après le postulat de Bohr le moment cinétique est quantifié et égal à LaTeX: \hbar pour une trajectoire circulaire, ce qui est le cas pour l'électron dans l'orbitale fondamentale de l'atome d'hydrogène. Cependant, l'électron a un moment cinétique intrinsèque moitié du moment orbital. Pourtant, les moments magnétiques orbital et intrinsèque de l'électron sont égaux à 1/1000e près. On sait mesurer un moment magnétique mais apparemment pas un moment cinétique angulaire et, a fortiori un spin sinon, sauf erreur, d'après le fractionnement des raies spectrales. Le moment magnétique orbital de l'électron est appelé magnéton de Bohr:

LaTeX: \mu_B=\frac{e\hbar}{2m}

Le moment magnétique intrinsèque de l'électron est

LaTeX: \mu_e=g\frac{e\hbar}{4m}=\frac{g}{2}\mu_B\approx \mu_B

où g=2.00232 est un nombre sans dimension, le facteur de Landé ou facteur g, parfois confondu avec le rapport gyromagnétique LaTeX: \gamma = \frac{e}{2m}. Celui du moment orbital, le magnéton de Bohr, est de un. Cela ne veut pas dire que le moment magnétique intrinsèque est le double du moment magnétique orbital, c'est le spin intrinsèque qui est moitié du spin orbital. Lorsque g ≠ 1, on dit que g est anormal. L'anomalie est a = (g - 2)/2. L'anomalie intrinsèque de l'électron est de 0,00116. Le proton et le neutron ont des anomalies importantes respectivement de 2,8 et -1,9 unités atomiques basées sur le magnéton nucléaire qui remplace celui de Bohr en physique nucléaire mais n'a pas d'existence réelle. Ces fortes anomalies peuvent s'interpréter par la répartition des charges et/ou des masses à l'intérieur des nucléons.




Atomes polyélectroniques (à vérifier et compléter)

Le moment magnétique intrinsèque de l'électron est une constante, au contraire du moment magnétique orbital qui dépend du rayon selon la formule

LaTeX: \mu=\frac{eL}{2M}=\frac{en\hbar}{2M} où n est le nombre quantique principal du niveau concerné. Pour n=1 on a un moment cinétique non nul, ce qui a fait dire que la théorie de Bohr était fausse et que l'électron ne tournait pas autour du noyau. On a confondu moment cinétique et moment magnétique qui sont généralement proportionnels. Je n'ai vu nulle part de moyen de mesurer le moment cinétique d'une particule. On additionne les moments cinétiques des électrons dans l'atome. C'est comme si on additionnnait les moments cinétiques des roues d'une voiture pour obtenir celui de la voiture, pourtant nul lorsqu'elle se déplace en ligne droite. La notion de moment angulaire d'un atome semble donc absurde. On esquive le problème en disant que le spin est un concept purement quantique. Cependant, dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, les moments magnétiques orbital et intrinsèque de l'électron sont égaux et opposés d'où l'absence de moment magnétique résultant dans l'état fondamental. On ne devrait pas utiliser cette notion de spin mais se baser sur des données mesurables, ici le moment magnétique.

Principe d'exclusion de Pauli et règle de Hund

La physique moderne est basée sur de nombreux principes ad hoc et phénomènes virtuels. On propose ici une signification physique de deux de ces principes. La signification physique de ces principes ne semble pas encore avoir été trouvée. Ce serait pourtant important pour savoir dans quelles conditions ils s'appliquent ou non. Le principe de Pauli s'applique en général aux fermions c'est-à-dire aux particules qui possèdent, entre autres, un moment magnétique. Autrement dit, ce sont des aimants microscopiques.

Le principe d'exclusion de Pauli <ref>Wolfgang Pauli ; Zeitschrift fur Physik 31 (1925) 373</ref> et la règle de Hund s'expliquent en faisant intervenir le magnétisme. En effet on peut constater que deux boussoles coaxiales (de préférence une grande et une petite) mises l'une sur l'autre s'alignent en sens contraire. Une troisième sera peu influencée par les deux premières car le moment magnétique résultant est nul. Cela explique le principe d'exclusion où deux électrons peuvent s'apparier. Lorsqu'il y a plusieurs électrons dans une orbitale, leurs moments magnétiques vont s'orienter parallèlement au champ magnétique environnant comme des boussoles suffisamment éloignées pour que le champ magnétique d'interaction soit négligeable par rapport au champ environnant, par exemple le champ magnétique terrestre. Lorsque le nombre d'électrons dans une orbitale augmente encore, ils vont se rapprocher et vont se coupler avec leurs moments magnétiques opposés, conformément au principe d'exclusion et le nombre maximal d'électrons dans une orbitale sera toujours un nombre pair. C'est la règle de Hund.

Il reste tout de même un problème: si les électrons s'attirent ils risquent de fusionner. On pourrait dire qu'ils se repoussent électrostatiquement mais ce n'est pas tout à fait satisfaisant car le potentiel de répulsion électrostatique est en 1/r alors que le potentiel d'interaction entre deux dipôles magnétiques est en 1/r³ et attractif.

La physique quantique a besoin d'une remise à plat où les principes ad hoc auront une base physique. Par exemple la notion de spin devrait être remplacée par celle de moment magnétique chaque fois que possible.

Noyaux atomiques

Le proton et le neutron ont un moment magnétique et un spin de 1/2. Un noyau atomique a aussi un spin qui serait la somme des spins des nucléons appariés selon le principe d'exclusion, les neutrons entre eux et les protons entre eux. On en déduit que les noyaux ayant à la fois un nombre N pair de neutrons et Z pair de protons (noyaux pair-pair) ont un spin nul donc pas de moment magnétique. Malheureusement personne ne semble avoir essayé de le vérifier expérimentalement tant la confiance dans le modèle en couches du noyau atomique est grande.

Conclusion

Ce calcul a été fait pour un électron en rotation mais avec son axe au repos (vitesse linéaire nulle). Il serait à revoir pour un électron en mouvement quelconque relativiste. Le modèle de la toupie pour le spin de l'électron semble en accord à la fois avec les théories relativiste et quantique. La difficulté due à la vitesse supposée supérieure à celle de la lumière est résolue en tenant compte de la variation relativiste de la masse en rotation et en assimilant la vibration de l'électron à une rotation.

Il reste toutefois à mesurer directement le rayon encore inconnu de cette particule élémentaire dont l'existence est connue depuis un siècle. La vision moderne du spin affirme qu'une particule élémentaire n’a pas de taille, que le spin est un objet purement quantique, que l'usage du mot spin est historique et que le modèle de la toupie est dépassé, remplacé par celui de Dirac, incompréhensible. Lorsque la représentation du spin par la toupie est utilisée, la personne qui le fait, souvent avec un geste de la main, s'empresse ensuite de préciser que ce n'est pas conforme à la mécanique quantique. En fait il s'agit d'un aveu d'ignorance, comme au Moyen-âge où les scolastiques expliquaient qu'une pierre tombe parce qu'elle est lourde. Les théoriciens d'aujourd'hui nous assènent que le spin est un objet purement quantique parce qu'ils ont voulu une rupture avec la mécanique classique mais ne peuvent s'en passer. Si la mécanique quantique est incompréhensible, c'est bien qu'il y a un problème.