Equation de Schrödinger

De Quantique, rétrosymétrie, absorbeurs
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Équation des ondes de de Broglie

Considérons l’équation de propagation (équation de d’Alembert) des ondes d’amplitude Ψ(x, t) et de vitesse de phase LaTeX: \left.v_\phi \right.

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{v_\phi^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0

Cette équation ne serait pas relativiste puisque LaTeX: v_\phi \ne c , vitesse de la lumière; elle n’est conservée ni dans la transformation de Lorentz ni dans celle de Galilée. On a vu que la vitesse c de la lumière est la moyenne géométrique des vitesses de phase LaTeX: v_\phi des ondes de de Broglie et de la vitesse v de la particule selon la relation :

LaTeX: \left.v_\phi v = c^2\right.

On peut donc écrire l’équation des ondes de matière sous la forme

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{v^2}{c^4}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0

Équation de Klein-Gordon

L’équation des ondes de de Broglie peut aussi s’écrire, en mettant à droite la vitesse de la particule :

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}(1-\frac{v^2}{c^2})\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}

En utilisant la relation de Planck-Einstein :

LaTeX:   \frac{m_0 c^2}{\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=h\nu

la vitesse disparaît et l’équation des ondes de de Broglie devient

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}  = -\left(\frac{m_0c }{h\nu}\right)^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}

Pour des ondes quasi-monochromatiques et quasi-stationaires, la fonction d’onde est sinusoïdale en fonction du temps :

Ψ(x, t) = φ(x) sin(ωt)

où la pulsation ω = 2πν, varie avec la vitesse v selon la relation :

LaTeX: \omega=  \frac{\omega_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=  \gamma\omega_0

Sa dérivée partielle seconde par rapport à t est :

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi

En utilisant cette expression dans le second membre seulement de l’équation des ondes de de Broglie, la fréquence angulaire ou pulsation variable LaTeX: \left. \omega \right. disparaît mais il reste la fréquence LaTeX: \left.\omega_0\right. de la particule au repos :

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}  = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi

Pour un photon, de masse au repos LaTeX: m_0 nulle, on retrouve l’équation classique des ondes lumineuses, le second membre étant nul.

La constante

LaTeX: R_C=\frac{\lambda_C}{2\pi} = \frac{\hbar}{m_0 c}

est le rayon de Compton et LaTeX: \lambda_C la longueur d'onde de Compton de la particule. Lorsque LaTeX: m_0 est la masse LaTeX: m_e de l’électron, on trouve un rayon de Compton de l’électron de l’ordre du centième de celui de Bohr mais cent fois son électron | rayon classique.

L'écriture explicite, en quatre dimensions où le temps est une pseudo-dimension spatiale, du d'alembertien en utilisant la variable w=ict est :

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial w^2}  = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi

On peut encore l'écrire, en utilisant le laplacien LaTeX: \Delta :

LaTeX:  \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \frac{\Psi}{R_C^2}

Le d'alembertien est invariant dans la transformation de Lorentz et le second membre se transformant comme un champ scalaire, l’équation de Klein-Gordon est invariante dans la transformation de Lorentz, donc relativiste. Elle a été découverte par de Broglie (Sur la fréquence propre de l'électron, C. R. Acad. Sci., 180, 1925, p. 498-500), mais avec, au second membre, un signe moins.

Schrödinger en a fait l’approximation non relativiste et stationnaire, plus facile à résoudre, qui porte son nom.

Équation de Schrödinger indépendante du temps

Reprenons l'équation de Klein-Gordon :

LaTeX:  \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{\omega_0}{c}\right)^2\Psi

Lorsque les ondes sont vraîment stationnaires et monochromatiques, la fonction d’onde est le produit de deux fonctions sinusoïdales, l’une des coordonnées, l’autre du temps :

Ψ(x, t)=φ(x)sin(ωt).

d'où :

LaTeX:  \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi

L'équation de Klein-Gordon devient :

LaTeX:  \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left(\omega^2 - \omega_0^2\right)\Psi=0

Au lieu des pulsations, utilisons les masses en mouvement et au repos. Avec la relation de Planck-Einstein :

LaTeX: \left.E = \hbar\omega = mc^2\right.

on a :

LaTeX:  \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left[\left(\frac{2\pi m c^2}{h}\right)^2 - \left(\frac{2\pi m_0 c^2}{h}\right)^2\right]\Psi=0

ou

LaTeX:  \Delta \Psi-\left(\frac{2\pi c}{h}\right)^2\left(m - m_0\right)\left(m + m_0\right)\Psi=0

Or l'énergie cinétique relativiste est

LaTeX: T= E-V=(m - m_0)c^2

où E est l'énergie totale mécanique et V l'énergie potentielle. Dans l'hypothèse des vitesses petites devant celle de la lumière, on a :

LaTeX: m + m_0\simeq 2m \qquad et \qquad   m - m_0\simeq \frac {E - V}{c^2}

L'équation des ondes stationnaires devient alors l'équation de Schrödinger indépendante du temps

LaTeX:  \frac{h^2}{8\pi^2m}\Delta\Psi+\left(E-V\right)\Psi=0

Les calculs précédents montrent que l’équation de Schrödinger n’est pas un postulat mais une approximation non relativiste et stationnaire de l’équation de d'Alembert appliquée aux ondes de de Broglie définies par λ = h/p. Même non-relativiste, elle a son origine dans la transformation de Lorentz.