Calcul de la molécule d'hydrogène

De Quantique, rétrosymétrie, absorbeurs
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Calcul de la molécule d'hydrogène

Le premier calcul d'une liaison chimique, fondateur de la chimie quantique est celui de la molécule la plus simple, celle de l'hydrogène par Bohr en 1913 (Bohr’s 1913 molecular model revisited,PNAS August 23, 2005 vol. 102 no. 34 11985–11988. C'est sans doute le seul calcul de liaison chimique accessible à un non-spécialiste.

Fichier:Hydrogène.jpg

Il consiste à appliquer le modèle de Bohr de l'atome à une molécule. On fait l'hypothèse que les électrons ont un mouvement circulaire de rayon LaTeX: r_0 autour de l'axe des protons p+p+, supposés immobiles et distants de R. La distance électron-proton e-p+ est LaTeX: r_1. En utilisant la formule du modèle de Bohr de l'atome pour l’état fondamental :

LaTeX: pr_0 = \hbar

où p=mv est la quantité de mouvement et LaTeX: \hbar=\frac{h}{2\pi} la constante de Planck réduite, l'énergie cinétique des électrons s'écrit :

LaTeX: E_C=2\frac{p^2}{2m_e}=\frac{1}{m_e}(\frac{h}{2\pi r_0})^2=\frac{h^2}{4\pi^2m_e(r_1^2-\frac{R^2}{4})}

Le potentiel V est attractif entre électrons et protons et se compose des quatre liaisons électron-proton. Il y a répulsion entre les électrons distants de LaTeX: 2r_0 et les protons distants de R. L'énergie potentielle s'écrit:

LaTeX: E_P=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}(-\frac{4}{r_1}+\frac{1}{2r_0}+\frac{1}{R})=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}(-\frac{4}{r_1}+\frac{1}{2\sqrt{r_1^2-R^2}}+\frac{1}{R)}

L'energie totale est:

LaTeX: E_T=E_C+E_P=\frac{h^2}{4\pi^2m_e(r_1^2-\frac{R^2}{4})}+\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}(-\frac{4}{r_1}+\frac{1}{2\sqrt{r_1^2-R^2}}+\frac{1}{R)}

Dans un atome d’hydrogène, l’égalité entre la force électrostatique et la force centrifuge peut s’écrire :

LaTeX: \frac{h^2}{4\pi^2m_ea^2_0}=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0a_0}=2R_H

LaTeX: R_H=13,6\ eV est la constante de Rydberg, LaTeX: a_0=0,53\ Å le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène et LaTeX: \epsilon_0 la constante diélectrique.

En y retranchant l’énergie de liaison LaTeX: -2R_H de deux atomes d’hydrogène isolés, l’énergie totale de la molécule devient :

LaTeX: E_T=2R_H(\frac{1}{x^2-\frac{y^2}{4}}-\frac{4}{x}+\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{y^2}{4}}}+\frac{1}{y} +1)

LaTeX: x=r_1/a_0 et LaTeX: y=R/a_0.

Cette équation se résout graphiquement en faisant varier x de telle façon que l'énergie du minimum soit minimale. On obtient ainsi x = 1,15 et y = 2,7 ce qui donne les valeurs trouvées par Bohr en 1913 de 2,7 eV pour l’énergie de liaison et de 0,6 Å pour l'écartement des protons. La précision du calcul est certes médiocre puisque les valeurs expérimentales sont, respectivement de 4,5 eV et de 0,74 Å. On trouvera des méthodes plus perfectionnées basées sur les orbitales moléculaires.